Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку...

Для решения задачи обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч. Скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч, поэтому:

• При движении по течению скорость катера будет ( 20 + v ) км/ч.
• При движении против течения скорость катера будет ( 20 - v ) км/ч.

1. Время в пути

Сначала найдем время, которое катер затратил на путь от одной пристани до другой:

[ t_1 = \frac{S}{V} = \frac{48}{20 + v} ]

где ( S = 48 ) км — расстояние между пристанями, а ( V = 20 + v ) — скорость катера по течению.

Затем катер возвращается обратно, и время на обратный путь будет:

[ t_2 = \frac{S}{V} = \frac{48}{20 - v} ]

2. Общее время в пути

Общее время в пути, включая стоянку, равно 5 целым 1/3 часа. Переведем 5 целых 1/3 часа в часы:

[ 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ ч} ]

Катер также сделал стоянку на 20 минут, что равно ( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ) часа. Таким образом, время в пути без стоянки составит:

[ t_1 + t_2 = \frac{16}{3} - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \text{ ч} ]

3. Уравнение для времени в пути

Теперь составим уравнение:

[ \frac{48}{20 + v} + \frac{48}{20 - v} = 5 ]

4. Умножим уравнение на общий знаменатель

Общий знаменатель будет ( (20 + v)(20 - v) ). Умножим всё уравнение на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

[ 48(20 - v) + 48(20 + v) = 5(20 + v)(20 - v) ]

Упростим:

[ 48 \cdot 20 - 48v + 48 \cdot 20 + 48v = 5(400 - v^2) ]

Сложим подобные:

[ 96 \cdot 20 = 2000 - 5v^2 ]

5. Решим уравнение

Теперь подставим ( 96 \cdot 20 = 1920 ):

[ 1920 = 2000 - 5v^2 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 5v^2 = 2000 - 1920 ]

[ 5v^2 = 80 ]

Делим обе стороны на 5:

[ v^2 = 16 ]

Теперь находим ( v ):

[ v = 4 \text{ км/ч} ]

Ответ

Скорость течения реки составляет ( 4 ) км/ч.

Для решения задачи введём обозначения и разберёмся с условиями.

Обозначения:

• ( v_{\text{катера}} = 20 ) км/ч — скорость катера в стоячей воде.
• ( v_{\text{течения}} = x ) км/ч — скорость течения реки (неизвестная величина, которую нужно найти).
• ( v{\text{по течению}} = v{\text{катера}} + v_{\text{течения}} = 20 + x ) км/ч — скорость катера по течению.
• ( v{\text{против течения}} = v{\text{катера}} - v_{\text{течения}} = 20 - x ) км/ч — скорость катера против течения.
• Расстояние между пристанями ( S = 48 ) км.
• Общее время поездки ( t_{\text{общ}} = 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} ) ч.
• Стоянка длилась ( t_{\text{стоянки}} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ) ч.

План решения:

1. Найдём время, затраченное на движение, исключив стоянку:
   [ t{\text{движения}} = t{\text{общ}} - t_{\text{стоянки}} = \frac{16}{3} - \frac{1}{3} = 5 \, \text{ч}. ] Таким образом, на движение туда и обратно катер потратил 5 часов.

2. Используем формулу для времени:
   Время, затраченное на путь туда (по течению):
   [ t{\text{по течению}} = \frac{S}{v{\text{по течению}}} = \frac{48}{20 + x}. ] Время, затраченное на путь обратно (против течения):
   [ t{\text{против течения}} = \frac{S}{v{\text{против течения}}} = \frac{48}{20 - x}. ] Сумма этих времён равна ( t_{\text{движения}} = 5 ):
   [ \frac{48}{20 + x} + \frac{48}{20 - x} = 5. ]

3. Упростим это уравнение.
   Приведём дроби к общему знаменателю:
   [ \frac{48 (20 - x)}{(20 + x)(20 - x)} + \frac{48 (20 + x)}{(20 + x)(20 - x)} = 5. ] Сложим числители:
   [ \frac{48 (20 - x) + 48 (20 + x)}{(20 + x)(20 - x)} = 5. ] Раскроем скобки:
   [ \frac{960 - 48x + 960 + 48x}{(20 + x)(20 - x)} = 5. ] Сократим ( -48x ) и ( +48x ):
   [ \frac{1920}{400 - x^2} = 5. ]

4. Решим это уравнение.
   Умножим обе части на ( 400 - x^2 ), чтобы избавиться от дроби:
   [ 1920 = 5 (400 - x^2). ] Раскроем скобки:
   [ 1920 = 2000 - 5x^2. ] Перенесём ( 2000 ) влево:
   [ -80 = -5x^2. ] Разделим на (-5):
   [ x^2 = 16. ] Возьмём квадратный корень:
   [ x = 4 \, \text{(км/ч)}. ]

Ответ: скорость течения реки равна ( \mathbf{4} ) км/ч.