Корень из(x+13)-корень из(x+1)=2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(x + 13) - √(x + 1))^2 = 2^2 (x + 13) - 2√((x + 13)(x + 1)) + (x + 1) = 4 2x + 14 - 2√(x^2 + 14x + 13) = 4

Теперь выразим √(x^2 + 14x + 13) и решим уравнение:

2√(x^2 + 14x + 13) = 2x + 10 √(x^2 + 14x + 13) = x + 5 x^2 + 14x + 13 = (x + 5)^2 x^2 + 14x + 13 = x^2 + 10x + 25 4x = 12 x = 3

Итак, решением уравнения √(x + 13) - √(x + 1) = 2 является x = 3.

Для решения данного уравнения:

[ \sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2 ]

начнем с избавления от корней. Для этого воспользуемся методом возведения обеих сторон уравнения в квадрат. Однако, прежде чем это делать, важно убедиться, что обе стороны уравнения неотрицательны. В данном случае, оба радикала определены для (x \geq -1), и поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, левая часть уравнения тоже неотрицательна. Также (2) — положительная величина, поэтому возведение в квадрат корректно.

[ (\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1})^2 = 2^2 ] [ x+13 - 2\sqrt{(x+13)(x+1)} + x+1 = 4 ] [ 2x + 14 - 2\sqrt{x^2 + 14x + 13} = 4 ] [ 2x + 10 = 2\sqrt{x^2 + 14x + 13} ] [ x + 5 = \sqrt{x^2 + 14x + 13} ]

Возведем обе стороны в квадрат снова:

[ (x + 5)^2 = (x^2 + 14x + 13) ] [ x^2 + 10x + 25 = x^2 + 14x + 13 ] [ 10x + 25 = 14x + 13 ] [ 25 - 13 = 14x - 10x ] [ 12 = 4x ] [ x = 3 ]

Теперь следует проверить, действительно ли (x = 3) является решением исходного уравнения:

[ \sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} ] [ 4 - 2 = 2 ]

Уравнение выполняется, значит (x = 3) действительно является корректным решением исходного уравнения.