Косинус квадрат альфа минус косинус в четвертой степени альфа плюс синус в четвертой степени альфа=?

Рассмотрим выражение ( \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha ).

Для упрощения этого выражения начнем с того, что мы можем представить его как:

[ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) + \sin^4 \alpha ]

Заметим, что ( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha ). Подставим это в выражение:

[ \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha ]

Теперь можно выделить общий множитель. Заметим, что ( \sin^4 \alpha ) можно записать как ( \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha ):

[ \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) ]

Согласно основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что ( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 ). Таким образом, наше выражение упрощается до:

[ \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha ]

Итак, окончательный ответ:

[ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = \sin^2 \alpha ]

Выражение ( \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha ) можно упростить следующим образом:

1. Заменим ( \sin^4 \alpha ) через ( \cos^2 \alpha ): [ \sin^4 \alpha = (1 - \cos^2 \alpha)^2 = 1 - 2\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha ]

2. Подставим это в исходное выражение: [ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + (1 - 2\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) ]

3. Упростим: [ \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + 1 - 2\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha ]

Таким образом, ответ: [ \sin^2 \alpha ]

Давайте разберём этот вопрос подробно и шаг за шагом упростим выражение:

[ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha ]

Шаг 1. Вспомним основные тождества

Первое, что нужно знать, это основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ] Также полезно помнить формулу разности квадратов: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ]

Шаг 2. Перепишем выражение

Заметим, что мы можем сгруппировать части выражения следующим образом: [ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha = \cos^2\alpha(1 - \cos^2\alpha) + \sin^4\alpha ]

Обратите внимание, что (1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha) (по основному тригонометрическому тождеству). Подставим это: [ \cos^2\alpha(1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha ]

Теперь выражение становится: [ \cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha + \sin^4\alpha ]

Шаг 3. Вынесем общий множитель

Заметим, что в обеих частях выражения есть (\sin^2\alpha). Вынесем его за скобки: [ \cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha + \sin^4\alpha = \sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) ]

Шаг 4. Упростим скобки

В скобках у нас (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha). Согласно основному тригонометрическому тождеству: [ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 ]

Подставим это обратно в выражение: [ \sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha ]

Итог

После всех преобразований мы получаем: [ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha = \sin^2\alpha ]

Ответ: [ \sin^2\alpha ]