Log √2(x+5)+log √2(4-x)>log √2(5-3x)

Решение данного неравенства: x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, 2)

Рассмотрим неравенство:

[ \log{\sqrt{2}}(x+5) + \log{\sqrt{2}}(4-x) > \log_{\sqrt{2}}(5-3x) ]

Для решения этого неравенства, начнем с преобразования левой части. Используя свойство логарифмов, которое говорит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения, мы можем записать:

[ \log_{\sqrt{2}}((x+5)(4-x)) ]

Таким образом, неравенство принимает вид:

[ \log{\sqrt{2}}((x+5)(4-x)) > \log{\sqrt{2}}(5-3x) ]

Чтобы избавиться от логарифмов, воспользуемся тем, что логарифмическая функция (\log_{\sqrt{2}}(y)) является возрастающей (так как основание (\sqrt{2} > 1)). Следовательно, можно убрать логарифмы, сохраняя знак неравенства:

[ (x+5)(4-x) > 5-3x ]

Теперь решим это неравенство:

1. Раскроем скобки в левой части:

   [ 4x - x^2 + 20 - 5x = -x^2 - x + 20 ]

2. Переносим все в одну сторону:

   [ -x^2 - x + 20 > 5 - 3x ]

   [ -x^2 - x + 20 - 5 + 3x > 0 ]

   [ -x^2 + 2x + 15 > 0 ]

3. Умножим неравенство на -1 (это изменит знак неравенства):

   [ x^2 - 2x - 15 < 0 ]

4. Найдем корни квадратного уравнения (x^2 - 2x - 15 = 0) с помощью дискриминанта:

   [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 ]

   [ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} ]

   [ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 ]

5. Решим неравенство (x^2 - 2x - 15 < 0). Корни разбивают числовую прямую на интервалы ((-∞, -3)), ((-3, 5)), и ((5, +∞)). Проверим знаки в каждом интервале:

   • Выбираем тестовую точку (x = -4) в интервале ((-∞, -3)): ((-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0)
   • Выбираем тестовую точку (x = 0) в интервале ((-3, 5)): (0^2 - 2(0) - 15 = -15 < 0)
   • Выбираем тестовую точку (x = 6) в интервале ((5, +∞)): (6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0)

Таким образом, решение неравенства (x^2 - 2x - 15 < 0) – это интервал ((-3, 5)).

1. Учитывая область определения логарифмов, необходимо чтобы все аргументы логарифмов были положительными:

   [ x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 ] [ 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4 ] [ 5 - 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{5}{3} ]

Объединяя все условия, получаем: (x \in (-3, \frac{5}{3})).

Ответ: (x \in (-3, \frac{5}{3})).

Для начала перепишем данное неравенство в эквивалентной логарифмической форме:

log √2(x+5) + log √2(4-x) > log √2(5-3x)

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(ab):

log √2[(x+5)(4-x)] > log √2(5-3x)

Упростим выражения в скобках:

(x+5)(4-x) = 4x - x^2 + 20 - 5x = -x^2 - x + 20

Теперь у нас получается неравенство:

log √2(-x^2 - x + 20) > log √2(5-3x)

Так как логарифм - это монотонно возрастающая функция, то неравенство сохранит свое значение, если мы избавимся от логарифмов:

√2(-x^2 - x + 20) > √2(5-3x)

Уберем корень и получим:

-x^2 - x + 20 > 5 - 3x

Преобразуем это уравнение к квадратному виду:

x^2 + 2x - 15 > 0

Теперь найдем корни этого уравнения, чтобы понять, в каких интервалах выполняется неравенство. Получаем корни x1 = -5 и x2 = 3. Исследуем знаки в каждом интервале и получаем, что решением неравенства является интервал (-∞, -5) объединенный с (3, +∞).