Log по основанию (корень из 3) из Х + log по основанию 9 из Х = 10 помогите пожааалуйста, от этого зависит...

Давайте решим уравнение:

[ \log{\sqrt{3}}(x) + \log{9}(x) = 10 ]

Сначала мы можем преобразовать логарифмы с разными основаниями в логарифмы с общим основанием. Знаем, что:

[ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} ]

где ( c ) — это любое положительное число, отличное от 1. В данном случае мы выберем основание 3.

Первый логарифм:

[ \log{\sqrt{3}}(x) = \frac{\log{3}(x)}{\log{3}(\sqrt{3})} = \frac{\log{3}(x)}{\frac{1}{2}} = 2\log_{3}(x) ]

Второй логарифм:

[ \log{9}(x) = \frac{\log{3}(x)}{\log{3}(9)} = \frac{\log{3}(x)}{2} ]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

[ 2\log{3}(x) + \frac{\log{3}(x)}{2} = 10 ]

Для удобства обозначим ( y = \log_{3}(x) ). Теперь у нас есть:

[ 2y + \frac{y}{2} = 10 ]

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ 4y + y = 20 ]

Сложим ( y ):

[ 5y = 20 ]

Теперь найдем ( y ):

[ y = \frac{20}{5} = 4 ]

Напомним, что ( y = \log_{3}(x) ), значит:

[ \log_{3}(x) = 4 ]

Теперь можно найти ( x ) в экспоненциальной форме:

[ x = 3^4 ]

Вычисляем:

[ x = 81 ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \boxed{81} ]

Проверим решение подставив ( x = 81 ) обратно в исходное уравнение:

1. ( \log{\sqrt{3}}(81) = \log{3}(81) / \log_{3}(\sqrt{3}) = 4 / (1/2) = 8 )
2. ( \log{9}(81) = \log{3}(81) / \log_{3}(9) = 4 / 2 = 2 )

Теперь складываем:

[ 8 + 2 = 10 ]

Проверка верна, значит, ( x = 81 ) — это правильный ответ.

Давайте подробно разберем данный пример:

У нас есть уравнение:

[ \log{\sqrt{3}}(x) + \log{9}(x) = 10 ]

Шаг 1. Замена оснований логарифмов

Для удобства решения применим формулу перехода к новому основанию:

[ \log_{a}(b) = \frac{\log{b}}{\log{a}} ]

Для первого логарифма, (\log{\sqrt{3}}(x)), и второго логарифма, (\log{9}(x)), сделаем замену оснований:

[ \log{\sqrt{3}}(x) = \frac{\log{x}}{\log{\sqrt{3}}}, \quad \log{9}(x) = \frac{\log{x}}{\log{9}} ]

Подставим это в исходное уравнение:

[ \frac{\log{x}}{\log{\sqrt{3}}} + \frac{\log{x}}{\log{9}} = 10 ]

Шаг 2. Упрощение выражений

Теперь заметим, что (\sqrt{3} = 3^{1/2}), а (9 = 3^{2}). Логарифмы оснований можно упростить, используя свойства логарифмов:

[ \log{\sqrt{3}} = \log{(3^{1/2})} = \frac{1}{2} \log{3}, \quad \log{9} = \log{(3^{2})} = 2 \log{3} ]

Подставим эти значения в уравнение:

[ \frac{\log{x}}{\frac{1}{2} \log{3}} + \frac{\log{x}}{2 \log{3}} = 10 ]

Упростим дроби, перевернув знаменатели:

[ \frac{2 \log{x}}{\log{3}} + \frac{\log{x}}{2 \log{3}} = 10 ]

Шаг 3. Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для дробей — (2 \log{3}). Приведем обе дроби к общему знаменателю:

[ \frac{4 \log{x}}{2 \log{3}} + \frac{\log{x}}{2 \log{3}} = 10 ]

Сложим числители:

[ \frac{4 \log{x} + \log{x}}{2 \log{3}} = 10 ]

[ \frac{5 \log{x}}{2 \log{3}} = 10 ]

Шаг 4. Избавляемся от дробей

Умножим обе стороны уравнения на (2 \log{3}), чтобы избавиться от знаменателя:

[ 5 \log{x} = 20 \log{3} ]

Разделим обе стороны на 5:

[ \log{x} = 4 \log{3} ]

Шаг 5. Применяем свойства логарифмов

Используем свойство логарифмов: (a \log{b} = \log{b^{a}}). Тогда:

[ \log{x} = \log{3^{4}} ]

Это означает, что:

[ x = 3^{4} ]

Шаг 6. Окончательный результат

Вычислим (3^{4}):

[ x = 81 ]

Ответ:

[ x = 81 ]