Log₅0,2+log₀,₅4 желательно с объяснениями.хочется не просто списать,а понять

Для начала рассмотрим выражение log₅0,2. Это означает, что 5 возводится в некоторую степень, чтобы получить число 0,2. То есть, 5 в какой-то степени равно 0,2. Чтобы найти эту степень, можно записать в виде уравнения: 5^x = 0,2.

Далее, рассмотрим выражение log₀,₅4. Это означает, что 0,5 возводится в некоторую степень, чтобы получить число 4. То есть, 0,5 в какой-то степени равно 4. Запишем это уравнение: 0,5^y = 4.

Теперь объединим два уравнения и решим их совместно. Получим систему уравнений:

5^x = 0,2 0,5^y = 4

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться свойствами логарифмов. Сначала преобразуем уравнения:

x = log₅0,2 y = log₀,₅4

Теперь можем записать исходное выражение в виде:

log₅0,2 + log₀,₅4 = x + y

Или, используя новые обозначения:

log₅0,2 + log₀,₅4 = log₅0,2 + log₀,₅4 = log₅0,5 + log₀,₅4 = 1 + 2 = 3

Таким образом, результат выражения log₅0,2 + log₀,₅4 равен 3.

Для решения данного выражения ( \log5{0.2} + \log{0.5}{4} ) мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и их изменения оснований. Начнем с первого слагаемого:

1. Выражение ${\log }_{5}0.2$

   Заметим, что $0.2$ можно представить как $\frac{1}{5}$ или $5^{-1}$. Тогда: ${\log }_{5}0.2={\log }_5{5}^{-1}=-1$ Это следует из свойства логарифмов: ${\log }_b{b}^x=x$.

2. Выражение ${\log }_{0.5}4$

   Сначала преобразуем основание логарифма. Основание $0.5$ можно записать как $2^{-1}$. Используя формулу изменения основания логарифма ( \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\logc{a}} ), получаем: [ \log{0.5}{4} = \log_{2^{-1}}{4} = \frac{\log_2{4}}{\log_2{2^{-1}}} ] Теперь найдем значения в числителе и знаменателе: ${\log }_{2}4=2\text{(потому что ( 2^2 = 4 ))}$ [ \log2{2^{-1}} = -1 \quad \text{$потомучто(2^{-1}=\frac{1}{2}$)} ] Таким образом: [ \log{0.5}{4} = \frac{2}{-1} = -2 ]

3. Сумма выражений

   Теперь сложим полученные результаты: [ \log5{0.2} + \log{0.5}{4} = -1 + $-2$ = -3 ]

Итак, значение выражения ( \log5{0.2} + \log{0.5}{4} ) равно $-3$.

Это решение показывает, как важно уметь преобразовывать и интерпретировать логарифмы, особенно когда дело касается нестандартных оснований. Знание свойств логарифмов существенно упрощает решение.