Log_2^2 x-5 log_2 x+6=0 помогите плиз решить

Для решения уравнения Log_2^2 x - 5 log_2 x + 6 = 0 нужно преобразовать его квадратное уравнение в логарифмах в квадратное уравнение относительно x.

Конечно, помогу решить уравнение ( \log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0 ).

Для удобства введём замену переменной. Пусть ( y = \log_2 x ). Тогда уравнение примет вид:

[ y^2 - 5y + 6 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение стандартным методом. Для этого найдём дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 6 ).

Подставим значения:

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 ] [ D = 25 - 24 ] [ D = 1 ]

Теперь найдём корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{5 \pm 1}{2} ]

Таким образом, получаем два значения для ( y ):

[ y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 ] [ y_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 ]

Теперь вернёмся к исходной переменной ( x ). Напомним, что ( y = \log_2 x ). Соответственно, для каждого найденного значения ( y ) найдём ( x ):

1. Если ( y = 3 ):

[ \log_2 x = 3 ]

Это означает, что:

[ x = 2^3 = 8 ]

1. Если ( y = 2 ):

[ \log_2 x = 2 ]

Это означает, что:

[ x = 2^2 = 4 ]

Таким образом, уравнение ( \log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0 ) имеет два решения:

[ x = 8 ] [ x = 4 ]

Ответ: ( x = 8 ) и ( x = 4 ).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к более удобному виду. Используем свойство логарифмов: log_a(b^c) = c * log_a(b). Тогда уравнение примет вид:

2 log_2 x - 5 log_2 x + 6 = 0

Упростим:

-3 * log_2 x + 6 = 0

Теперь выразим log_2 x:

-3 * log_2 x = -6 log_2 x = 2

Теперь преобразуем логарифм в экспоненциальную форму: 2 = 2^2. Таким образом, x = 2.

Итак, решением уравнения log_2^2 x - 5 log_2 x + 6 = 0 является x = 2.