Log3(3x^4+42)=1+log√3(√13x^2+2)

Чтобы решить уравнение

[ \log3(3x^4 + 42) = 1 + \log{\sqrt{3}}(\sqrt{13x^2 + 2}), ]

мы начнем с упрощения обеих частей уравнения.

Шаг 1: Работа с правой частью уравнения

У нас есть (1 + \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{13x^2 + 2})).

Используя свойства логарифмов, мы можем записать это как:

[ 1 = \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3}). ]

Таким образом,

[ 1 + \log{\sqrt{3}}(\sqrt{13x^2 + 2}) = \log{\sqrt{3}}(\sqrt{3} \cdot \sqrt{13x^2 + 2}). ]

Тогда правая часть уравнения становится:

[ \log{\sqrt{3}}(\sqrt{3} \cdot \sqrt{13x^2 + 2}) = \log{\sqrt{3}}(\sqrt{3(13x^2 + 2)}). ]

Шаг 2: Преобразование логарифмов

Теперь сравним обе части уравнения:

[ \log3(3x^4 + 42) = \log{\sqrt{3}}(\sqrt{3(13x^2 + 2)}). ]

Для удобства преобразуем логарифмы к одному и тому же основанию. Заметим, что (\log_{\sqrt{3}}(a) = \frac{\log_3(a)}{\log_3(\sqrt{3})}), где (\log_3(\sqrt{3}) = \frac{1}{2}). Поэтому:

[ \log_{\sqrt{3}}(b) = 2 \cdot \log_3(b). ]

Таким образом,

[ \log_3(3x^4 + 42) = 2 \cdot \log_3(\sqrt{3(13x^2 + 2)}). ]

Используя свойства логарифмов, упростим правую часть:

[ 2 \cdot \log_3(\sqrt{3(13x^2 + 2)}) = \log_3(3(13x^2 + 2)). ]

Шаг 3: Сравнение аргументов логарифмов

Теперь у нас есть уравнение:

[ 3x^4 + 42 = 3(13x^2 + 2). ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 3x^4 + 42 = 39x^2 + 6. ]

Перенесем все в одну сторону:

[ 3x^4 - 39x^2 + 42 - 6 = 0, ]

что упрощается до:

[ 3x^4 - 39x^2 + 36 = 0. ]

Шаг 4: Решение уравнения

Это квадратное уравнение относительно (y = x^2):

[ 3y^2 - 39y + 36 = 0. ]

Разделим на 3:

[ y^2 - 13y + 12 = 0. ]

Используя формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}, ]

[ y = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{2}, ]

[ y = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2}, ]

[ y = \frac{13 \pm 11}{2}. ]

Таким образом, (y_1 = \frac{24}{2} = 12) и (y_2 = \frac{2}{2} = 1).

Шаг 5: Найдем (x)

1. (x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}).
2. (x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1).

Итак, решения: (x = \pm 2\sqrt{3}) и (x = \pm 1).

Проверка решений

Подставьте каждое значение (x) обратно в оригинальное уравнение, чтобы убедиться, что оно действительно является решением. Решения, которые не удовлетворяют изначальному уравнению, нужно исключить.

Таким образом, уравнение может иметь одно или несколько допустимых решений из множества: (-2\sqrt{3}, -1, 1, 2\sqrt{3}).

Для начала преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма, которое позволяет вынести показатель из аргумента логарифма:

log₃(3x^4 + 42) = 1 + log√3(√13x^2 + 2) log₃(3x^4 + 42) = log₃3 + log√3(√13x^2 + 2) log₃(3x^4 + 42) = log₃3 * √3(√13x^2 + 2)

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

log₃(3x^4 + 42) = log₃3 √3(√13x^2 + 2) 3x^4 + 42 = 3 √3(√13x^2 + 2) 3x^4 + 42 = 3√39x^2 + 6√3

Теперь приведем подобные члены и решим уравнение:

3x^4 - 3√39x^2 + 6√3 - 42 = 0

Далее решение этого уравнения зависит от методов решения кубического уравнения.