(M - 4mn/m+n) : ( m/n+m + n/m-n + 2mn/n^2-m^2) Дробь между переменными как дробная черта, и там потом...

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и сложить числители.

Для упрощения данного выражения сначала выразим все дроби в виде общего знаменателя:

(m - 4mn/m+n) : (m/n+m + n/m-n + 2mn/n^2-m^2)

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1. m - 4mn/m+n = (m - 4mn)(m-n)/(m+n)
2. m/n+m = (m^2 + mn)/(n(m+n))
3. n/m-n = n/(m-n)
4. 2mn/n^2-m^2 = 2mn/(n^2 - m^2)

Теперь заменим все дроби в исходном выражении на их эквиваленты:

((m - 4mn)(m-n)/(m+n)) : ((m^2 + mn)/(n(m+n)) + (n/(m-n)) + (2mn/(n^2 - m^2)))

Далее упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сократив общие множители при необходимости.

Для решения выражения ((m - \frac{4mn}{m+n}) : (\frac{m}{n+m} + \frac{n}{m-n} + \frac{2mn}{n^2-m^2})) необходимо упростить каждую часть выражения, обращая внимание на дроби.

Шаг 1: Упрощение первой части

Рассмотрим первую часть выражения: (m - \frac{4mn}{m+n}).

1. Приведем к общему знаменателю:

   [ m = \frac{m(m+n)}{m+n} = \frac{m^2 + mn}{m+n} ]

2. Теперь вычтем дробь:

   [ \frac{m^2 + mn}{m+n} - \frac{4mn}{m+n} = \frac{m^2 + mn - 4mn}{m+n} = \frac{m^2 - 3mn}{m+n} ]

Шаг 2: Упрощение второй части

Теперь упростим вторую часть: (\frac{m}{n+m} + \frac{n}{m-n} + \frac{2mn}{n^2-m^2}).

1. Обратите внимание, что (n^2 - m^2) можно разложить как ((n-m)(n+m)). Поэтому:

   [ \frac{2mn}{n^2-m^2} = \frac{2mn}{(n-m)(n+m)} ]

2. Приведем все дроби ко общему знаменателю:

   Общий знаменатель для всех трех дробей будет ((n+m)(m-n)(n-m)).

   [ \frac{m}{n+m} = \frac{m(m-n)(n-m)}{(n+m)(m-n)(n-m)} ]

   [ \frac{n}{m-n} = \frac{n(n+m)(n-m)}{(n+m)(m-n)(n-m)} ]

   [ \frac{2mn}{(n-m)(n+m)} = \frac{2mn(m-n)}{(n+m)(m-n)(n-m)} ]

3. Сложим все дроби:

   [ \frac{m(m-n)(n-m) + n(n+m)(n-m) + 2mn(m-n)}{(n+m)(m-n)(n-m)} ]

Шаг 3: Деление первой части на вторую

Теперь, когда обе части выражения приведены к дробям, мы можем выполнить деление:

[ \frac{\frac{m^2 - 3mn}{m+n}}{\frac{m(m-n)(n-m) + n(n+m)(n-m) + 2mn(m-n)}{(n+m)(m-n)(n-m)}} ]

Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь:

[ \frac{m^2 - 3mn}{m+n} \times \frac{(n+m)(m-n)(n-m)}{m(m-n)(n-m) + n(n+m)(n-m) + 2mn(m-n)} ]

Это упростит процесс подстановки значений для переменных (m) и (n). Убедитесь, что знаменатели не равны нулю при подстановке значений.