Методом интервалов решить неравенство: $х+3$^2 * $х+1$ дробная черта х-4 и все это меньше или равно...

Рассмотрим неравенство:

$\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}\le 0.$

Решим его методом интервалов. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем нули числителя и знаменателя

1. Нули числителя:

   • Числитель — это $(x+3$^2$x+1$). Для нахождения нулей числителя приравняем его к нулю: $(x+3{)}^2(x+1)=0.$
     • $(x+3$^2 = 0 \implies x = -3) $многократныйкорень,кратность2$.
     • $(x+1$ = 0 \implies x = -1).

   Таким образом, нули числителя: $x=-3$ $кратность2$ и $x=-1$ $кратность1$.

2. Нули знаменателя:

   • Знаменатель — это $x-4$. Для нахождения нуля знаменателя приравняем его к нулю: $x-4=0⟹x=4.$

   Таким образом, нуль знаменателя: $x=4$. Это точка разрыва функции.

2. Определим области знака

Теперь у нас есть критические точки: $x=-3$, $x=-1$, $x=4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Перечислим их: $(-\mathrm{\infty },-3),(-3,-1),(-1,4),(4,+\mathrm{\infty }).$

Для каждого интервала определим знак выражения $\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}$. Учтем:

• $(x+3$^2) всегда неотрицательно $таккакэтоквадрат$,
• $(x+1$) меняет знак при $x=-1$,
• $(x-4$) меняет знак при $x=4$.

3. Построим таблицу знаков

Рассмотрим знаки каждого множителя:

• $(x+3$^2): Всегда $\ge 0$ на всей числовой прямой.
• $(x+1$): Отрицательно на интервале $(-\mathrm{\infty },-1$), положительно на интервале $(-1,+\mathrm{\infty }$).
• $(x-4$): Отрицательно на интервале $(-\mathrm{\infty },4$), положительно на интервале $(4,+\mathrm{\infty }$).

Теперь определим знаки дроби $\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}$ на каждом интервале:

1. $x\in (-\mathrm{\infty },-3$):

   • $(x+3$^2 > 0),
   • $(x+1$ < 0),
   • $(x-4$ < 0). $\text{Знак: }\frac{(x+3{)}^2\cdot (x+1)}{x-4}>0.$

2. $x\in (-3,-1$):

   • $(x+3$^2 > 0),
   • $(x+1$ < 0),
   • $(x-4$ < 0). $\text{Знак: }\frac{(x+3{)}^2\cdot (x+1)}{x-4}>0.$

3. $x\in (-1,4$):

   • $(x+3$^2 > 0),
   • $(x+1$ > 0),
   • $(x-4$ < 0). $\text{Знак: }\frac{(x+3{)}^2\cdot (x+1)}{x-4}<0.$

4. $x\in (4,+\mathrm{\infty }$):

   • $(x+3$^2 > 0),
   • $(x+1$ > 0),
   • $(x-4$ > 0). $\text{Знак: }\frac{(x+3{)}^2\cdot (x+1)}{x-4}>0.$

4. Учитываем знак неравенства

Мы решаем неравенство: $\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}\le 0.$ Это означает, что нас интересуют те значения $x$, при которых дробь $\le 0$, то есть либо отрицательна, либо равна нулю.

Когда дробь равна нулю?

• Числитель равен нулю, то есть $x=-3$ $кратныйкорень$ и $x=-1$. Однако в точке $x=-3$ дробь не меняет знак, так как $(x+3$^2) имеет четную степень.

Когда дробь отрицательна?

• На интервале $(-1,4$) дробь отрицательна.

Учитываем точку разрыва $x=4$:

• При $x=4$ знаменатель обращается в ноль, поэтому точка $x=4$ не входит в решение.

5. Записываем итоговый ответ

Объединяем значения $x$, при которых дробь $\le 0$: $x\in [-3$ \cup $-1,4).$

Решим неравенство

$\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}\le 0.$

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

1. Числитель: $(x+3$^2 $x+1$ = 0)

   • $(x+3$^2 = 0 \Rightarrow x = -3) $двойнойкорень$
   • $(x+1$ = 0 \Rightarrow x = -1)

   Таким образом, нули числителя: $x=-3$ $скратностью2$ и $x=-1$.

2. Знаменатель: $x-4=0$

   • $x=4$

Шаг 2: Определим знаки функции на интервалах.

Теперь найдем знаки выражения на интервалах, определенных найденными корнями и точкой, где знаменатель равен нулю. У нас есть следующие критические точки: $x=-3$, $x=-1$ и $x=4$. Рассмотрим интервалы:

1. $(-\mathrm{\infty },-3$)
2. $(-3,-1$)
3. $(-1,4$)
4. $(4,+\mathrm{\infty }$)

Теперь проверим знак функции на каждом из этих интервалов.

• Интервал $(-\mathrm{\infty },-3$): Выберем $x=-4$. $\frac{(-4+3{)}^2(-4+1)}{-4-4}=\frac{1^2\cdot (-3)}{-8}=\frac{-3}{-8}>0.$

• Интервал $(-3,-1$): Выберем $x=-2$. $\frac{(-2+3{)}^2(-2+1)}{-2-4}=\frac{1^2\cdot (-1)}{-6}=\frac{-1}{-6}>0.$

• Интервал $(-1,4$): Выберем $x=0$. $\frac{(0+3{)}^2(0+1)}{0-4}=\frac{3^2\cdot 1}{-4}=\frac{9}{-4}<0.$

• Интервал $(4,+\mathrm{\infty }$): Выберем $x=5$. $\frac{(5+3{)}^2(5+1)}{5-4}=\frac{8^2\cdot 6}{1}=48>0.$

Шаг 3: Составим таблицу знаков.

Шаг 4: Определим, где выражение меньше или равно нулю.

Выражение $\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}$ меньше или равно нулю на интервале $(-1,4$).

Шаг 5: Учитываем границы.

• На $x=-3$: Числитель равен 0, следовательно, выражение равно 0.
• На $x=-1$: Числитель равен 0, следовательно, выражение равно 0.
• На $x=4$: Знаменатель равен 0, следовательно, выражение не определено и не включается в решение.

Итоговое решение:

$x\in [-3,-1$ \cup $-1,4$. ]

Таким образом, решение неравенства:

$[-3,-1$ \cup $-1,4$. ]

Решим неравенство $\frac{(x+3{)}^2(x+1)}{x-4}\le 0$.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: $(x+3$^2 = 0) при $x=-3$ $двойнойкорень$ и $x+1=0$ при $x=-1$.
   • Знаменатель: $x-4=0$ при $x=4$.

2. Определим промежутки:

   • Корни: $x=-3$, $x=-1$, $x=4$.
   • Промежутки: $(-\mathrm{\infty },-3$), $(-3,-1$), $(-1,4$), $(4,+\mathrm{\infty }$).

3. Проверим знаки на каждом промежутке:

   • Для $x<-3$: положительно.
   • Для $-3<x<-1$: отрицательно.
   • Для $-1<x<4$: положительно.
   • Для $x>4$: положительно.

4. Учитываем, что в точке $x=-3$ выражение равно 0, а в точке $x=4$ оно не определено.

5. Объединяем результаты:

   • Неравенство выполняется на промежутке $[-3,-1]$.

Ответ: $[-3,-1]$.