Моторная лодка прошла по течению реки 12 км, а против течения – 7 км, затратив на путь по течению на...

Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда скорость лодки по течению будет равна 6+V км/ч, а против течения 6-V км/ч.

Для пути по течению время равно 12/(6+V) часов, а для пути против течения время равно 7/(6-V) часов. По условию задачи время по течению на 1 час меньше, чем против течения.

Из этого получаем уравнение: 12/(6+V) = 7/(6-V) + 1

Решая это уравнение, мы найдем значение скорости течения реки V.

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Для решения этой задачи обозначим скорость течения реки через ( x ) км/ч.

Собственная скорость лодки — это скорость лодки в стоячей воде, которая равна 6 км/ч.

1. Скорость лодки по течению реки:
   По течению реки лодка движется быстрее, чем в стоячей воде, потому что течение реки добавляет свою скорость. Поэтому скорость лодки по течению будет равна ( 6 + x ) км/ч.

2. Скорость лодки против течения реки:
   Против течения реки лодка движется медленнее, поскольку течение реки уменьшает её скорость. Таким образом, скорость лодки против течения будет равна ( 6 - x ) км/ч.

3. Время движения по течению и против течения:
   Формула для нахождения времени в пути: ( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ).

   • Время, затраченное на движение по течению:
     [ t_1 = \frac{12}{6 + x} ]

   • Время, затраченное на движение против течения:
     [ t_2 = \frac{7}{6 - x} ]

4. Составляем уравнение на основе условия задачи:
   По условию задачи, на путь по течению было затрачено на 1 час меньше, чем против течения, то есть: [ t_2 - t_1 = 1 ]

   Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{7}{6 - x} - \frac{12}{6 + x} = 1 ]

5. Решаем уравнение:
   Приведём обе дроби к общему знаменателю, который равен ((6 - x)(6 + x)): [ \frac{7(6 + x) - 12(6 - x)}{(6 - x)(6 + x)} = 1 ]

   Раскроем скобки в числителе: [ 42 + 7x - 72 + 12x = 1 \cdot (6 - x)(6 + x) ]

   Сложив и упростив, получаем: [ 19x - 30 = 36 - x^2 ]

   Переносим все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 + 19x - 66 = 0 ]

6. Решаем квадратное уравнение:
   Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 361 + 264 = 625 ]

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 25}{2} ]

   [ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-44}{2} = -22 ]

   Поскольку скорость течения не может быть отрицательной, выбираем ( x = 3 ).

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.