На биссектрисе 2 и 4 координатных углов отметили точку А (х; у). Докажите, что для координат этой точки...

Для доказательства равенства у= -х на биссектрисе 2 и 4 координатных углов можно воспользоваться свойством биссектрисы, которое гласит, что точки на биссектрисе равноудалены от осей координат.

Для угла во втором координатном угле (I) координаты точки А (х; у) удовлетворяют условию, что они равноудалены от осей координат, т.е. |х| = |у|. Таким образом, у = ±х. Так как точка А находится во втором координатном угле, то у < 0. Следовательно, у = -х.

Для угла в четвертом координатном угле (IV) координаты точки А (х; у) также удовлетворяют условию равноудаленности от осей координат, т.е. |х| = |у|. Поскольку точка А находится в четвертом координатном угле, то и у > 0. Следовательно, у = -х.

Таким образом, для координат точки А на биссектрисе 2 и 4 координатных углов выполняется равенство у = -х в обоих случаях.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два случая, когда точка A находится на биссектрисе второго и четвертого координатных углов. Биссектриса угла – это линия, которая делит угол пополам.

1. Биссектриса второго координатного угла:

   Второй координатный угол находится между отрицательной полуосью x и положительной полуосью y. Биссектриса этого угла проходит через точки, где угол между осью x и вектором из начала координат к любой точке на биссектрисе равен 135 градусов (или (\frac{3\pi}{4}) радиан). Уравнение этой биссектрисы можно вывести следующим образом:

   • Вектор, находящийся на биссектрисе второго угла, имеет одинаковые по модулю, но противоположные по знаку координаты, поскольку он идет под углом 135 градусов к оси x.
   • Следовательно, уравнение этой прямой будет (y = -x), но с учетом того, что x отрицателен, а y положителен. Для всех точек на этой биссектрисе выполняется равенство (y = -x).

2. Биссектриса четвертого координатного угла:

   Четвертый координатный угол расположен между положительной полуосью x и отрицательной полуосью y. Биссектриса этого угла проходит через точки, где угол между осью x и вектором из начала координат к любой точке на биссектрисе составляет -45 градусов (или (-\frac{\pi}{4}) радиан). Уравнение этой биссектрисы можно вывести следующим образом:

   • Вектор, находящийся на биссектрисе четвертого угла, также имеет одинаковые по модулю, но противоположные по знаку координаты, поскольку он идет под углом -45 градусов к оси x.
   • Следовательно, уравнение этой прямой тоже будет (y = -x), но с учетом того, что и x, и y положительны. Для всех точек на этой биссектрисе также выполняется равенство (y = -x).

Таким образом, в обоих случаях, когда точка А находится на биссектрисе второго или четвертого координатного угла, выполняется равенство (y = -x). Это связано с тем, что биссектрисы этих углов симметричны относительно оси координат и пересекают оси под углами, которые приводят к равенству модулей и противоположности знаков координат.

Точка А на биссектрисе 2 и 4 координатных углов имеет координаты (х; у), где у = -х. Для угла 2 координатной плоскости у = х, а для угла 4 у = -х. Таким образом, у = -х выполняется для координат точки А на биссектрисе обоих углов.