На перегоне от пункта А до пункта В поезд шёл со скоростью на 10 км/ч меньше намеченной, поэтому он...

Пусть скорость поезда на перегоне от пункта А до пункта В была V км/ч, а на перегоне от пункта В до пункта С – V+10 км/ч.

Так как поезд на первом участке двигался со скоростью на 10 км/ч меньше намеченной, то время, которое он потратил на этот участок, равно L/(V-10), где L – расстояние от А до В.

По условию задачи, поезд пришел в пункт В на 15 минут позже, чем было запланировано. Это означает, что время, которое поезд потратил на первый участок, на 1/4 часа больше, чем было запланировано. Таким образом, уравнение получается таким: L/(V-10) = t1 + 1/4

Где t1 – время, которое запланировано на первый участок.

На втором участке поезд двигался со скоростью V+10 км/ч и проехал расстояние L+60 км. Время, которое поезд потратил на второй участок, равно (L+60)/(V+10).

По условию задачи, поезд прибыл в пункт С через 2,5 часа после выхода из пункта В. Это означает, что время, которое поезд потратил на второй участок, на 2,5 часа больше, чем было запланировано. Таким образом, уравнение для второго участка будет следующим: (L+60)/(V+10) = t2 + 2,5

Где t2 – время, которое запланировано на второй участок.

Так как скорость на втором участке равна запланированной, то время, которое поезд должен был потратить на весь путь от А до С, равно t1 + t2.

Из уравнений можно составить систему и решить её, чтобы найти время, за которое состав должен был пройти перегон АВ по расписанию.

Перегон от А до В должен был быть пройден за 4,5 часа по расписанию.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим и введем переменные для удобства:

1. Обозначим расстояние от пункта А до пункта В через ( L ) (в километрах).
2. Обозначим намеченную скорость поезда от А до В через ( V ) (в км/ч).
3. Обозначим фактическую скорость поезда от А до В через ( V - 10 ) (в км/ч).

Также нам даны следующие данные:

• Поезд опоздал на 15 минут, что эквивалентно ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) часа.
• Расстояние от В до С на 60 км больше, чем от А до В, то есть ( L + 60 ) км.
• Поезд прошел расстояние от В до С за 2,5 часа со скоростью ( V ).

Теперь составим уравнения на основе этих данных.

Уравнение 1: Время в пути от А до В

По расписанию поезд должен был пройти расстояние ( L ) со скоростью ( V ). Время в пути по расписанию: [ t_1 = \frac{L}{V} ]

Фактически поезд прошел это расстояние со скоростью ( V - 10 ). Время в пути фактически: [ t_2 = \frac{L}{V - 10} ]

Так как поезд опоздал на 15 минут (или (\frac{1}{4}) часа), разница во времени: [ \frac{L}{V - 10} = \frac{L}{V} + \frac{1}{4} ]

Уравнение 2: Время в пути от В до С

По расписанию поезд прошел расстояние ( L + 60 ) со скоростью ( V ). Время в пути: [ \frac{L + 60}{V} = 2.5 ]

Решение системы уравнений

Сначала решим второе уравнение: [ \frac{L + 60}{V} = 2.5 ] [ L + 60 = 2.5V ] [ L = 2.5V - 60 ]

Теперь подставим ( L ) в первое уравнение: [ \frac{2.5V - 60}{V - 10} = \frac{2.5V - 60}{V} + \frac{1}{4} ]

Упростим полученное уравнение: [ \frac{2.5V - 60}{V - 10} - \frac{2.5V - 60}{V} = \frac{1}{4} ]

Приведем обе части к общему знаменателю: [ \frac{(2.5V - 60)V - (2.5V - 60)(V - 10)}{V(V - 10)} = \frac{1}{4} ]

В числителе упростим: [ (2.5V - 60)V - (2.5V - 60)(V - 10) = 2.5V^2 - 60V - (2.5V^2 - 25V - 60V + 600) ] [ = 2.5V^2 - 60V - 2.5V^2 + 25V + 60V - 600 ] [ = - 600 + 25V ]

Подставим это обратно: [ \frac{25V - 600}{V(V - 10)} = \frac{1}{4} ]

Теперь умножим обе части на ( 4V(V - 10) ): [ 4(25V - 600) = V(V - 10) ] [ 100V - 2400 = V^2 - 10V ] [ V^2 - 110V + 2400 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ V = \frac{110 \pm \sqrt{110^2 - 4 \cdot 2400}}{2} ] [ V = \frac{110 \pm \sqrt{12100 - 9600}}{2} ] [ V = \frac{110 \pm \sqrt{2500}}{2} ] [ V = \frac{110 \pm 50}{2} ]

Итак, возможные значения: [ V = \frac{160}{2} = 80 ] [ V = \frac{60}{2} = 30 ]

Проверим оба значения:

1. Если ( V = 80 ): [ L = 2.5 \times 80 - 60 = 200 - 60 = 140 ] Тогда время по расписанию: [ t = \frac{L}{V} = \frac{140}{80} = 1.75 \text{ часа или 1 час 45 минут} ]

2. Если ( V = 30 ): [ L = 2.5 \times 30 - 60 = 75 - 60 = 15 ] Тогда время по расписанию: [ t = \frac{L}{V} = \frac{15}{30} = 0.5 \text{ часа или 30 минут} ]

Проверим, соответствует ли второе значение условиям задачи. Оно не соответствует, так как поезд не может пройти расстояние от В до С (75 км) за 2.5 часа со скоростью 30 км/ч. Значит, правильное значение скорости — ( V = 80 ) км/ч.

Ответ: Состав должен был пройти перегон АВ по расписанию за ( 1 \text{ час } 45 \text{ минут} ).