Начертите график: y = –3cos(x + п/6). п - это число пи Если можно, то с объяснением

Для начертания графика функции y = -3cos(x + π/6) нужно учитывать, что амплитуда косинуса равна 3, а сдвиг по оси x составляет π/6 влево.

Косинус является периодической функцией, повторяющейся каждые 2π радиан. Таким образом, для построения графика можно начать с отметки точек на интервале от 0 до 2π радиан.

При x = 0 получаем y = -3cos(π/6) = -3cos(30°) = -3 √3 / 2 ≈ -2.6 При x = π/2 получаем y = -3cos(π/2 + π/6) = -3cos(60°) = -3 1/2 = -1.5 При x = π получаем y = -3cos(π + π/6) = -3cos(120°) = -3 (-1/2) = 1.5 При x = 3π/2 получаем y = -3cos(3π/2 + π/6) = -3cos(210°) = -3 (-√3/2) ≈ 2.6 При x = 2π получаем y = -3cos(2π + π/6) = -3cos(360°) = -3 * 1/2 = -1.5

Теперь можно соединить полученные точки гладкой кривой, чтобы построить график функции y = -3cos(x + π/6). График будет иметь вид периодической функции косинуса, но с измененной амплитудой и сдвигом по оси x.

Конечно! Давайте разберем, как построить график функции ( y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) ).

1. Основная форма косинусоиды

Начнем с рассмотрения стандартного графика функции ( y = \cos(x) ). Этот график имеет следующие свойства:

• Амплитуда: 1
• Период: ( 2\pi )
• Фаза: 0 (начинается с максимума при ( x = 0 ))

2. Модифицированная функция

Теперь рассмотрим функцию ( y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) ). Здесь присутствуют несколько модификаций, которые нужно учитывать:

Амплитуда

Амплитуда функции ( y = \cos(x) ) изменена множителем -3. Это значит, что амплитуда графика будет 3, но из-за отрицательного знака, график будет инвертирован по вертикали. Таким образом, максимальное значение функции будет -3, а минимальное 3.

Горизонтальный сдвиг (фаза)

Внутри функции косинуса присутствует слагаемое ( \frac{\pi}{6} ), что означает горизонтальный сдвиг влево на ( \frac{\pi}{6} ) единиц.

Основные точки графика

Для построения графика важно определить основные точки косинусоиды на интервале одного периода ( 2\pi ):

1. Начальная точка: При ( x = -\frac{\pi}{6} ), ( y = -3 \cos\left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cos(0) = -3 \times 1 = -3 )
2. Переход через ось x: При ( x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} ), ( y = -3 \cos\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = -3 \times 0 = 0 )
3. Минимум: При ( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} ), ( y = -3 \cos\left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cos(\pi) = -3 \times (-1) = 3 )
4. Переход через ось x: При ( x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} ), ( y = -3 \cos\left( \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) = -3 \times 0 = 0 )
5. Конечная точка: При ( x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} ), ( y = -3 \cos\left( \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = -3 \cos(2\pi) = -3 \times 1 = -3 )

3. Построение графика

Теперь, когда у нас есть основные точки, можем начертить график функции:

1. Начертите оси координат.
2. Отметьте точки, где ( x = -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} ).
3. Нанесите значения функции ( y ) в этих точках: -3, 0, 3, 0, -3 соответственно.
4. Соедините эти точки плавной кривой, учитывая, что график будет волнообразным.

Итоговый график

График функции ( y = -3 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) ) будет периодической волной с амплитудой 3, перевернутой по вертикали и сдвинутой влево на ( \frac{\pi}{6} ).

Этот процесс позволяет нам понять и начертить график любой измененной тригонометрической функции.

График функции y = -3cos(x + π/6) будет представлять собой синусоиду с амплитудой 3, сдвинутую на π/6 влево. С учетом того, что умножение на -3 инвертирует график по вертикали, получаем, что график будет отражен относительно оси x.