Найди координаты точки M - середины отрезка AB, если известны координаты точек A(7;2) и B(−5;−2).

Чтобы найти координаты точки ( M ), середины отрезка ( AB ), используем формулу для нахождения середины отрезка на плоскости. Эта формула выглядит следующим образом:

[ M\left(x_M; y_M\right) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right), ]

где:

• ( (x_1, y_1) ) — координаты точки ( A ),
• ( (x_2, y_2) ) — координаты точки ( B ),
• ( (x_M, y_M) ) — координаты точки ( M ), которую мы ищем.

Подставим координаты точек ( A(7; 2) ) и ( B(-5; -2) ) в формулу:

[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1, ] [ y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{2 - 2}{2} = \frac{0}{2} = 0. ]

Таким образом, координаты точки ( M ) равны ( (1; 0) ).

Проверка:

Точка ( M ) действительно делит отрезок ( AB ) пополам:

1. Удостоверимся, что точка ( M ) лежит на прямой между ( A ) и ( B ).
2. Расстояние от ( A ) до ( M ) равно расстоянию от ( M ) до ( B ).

Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Расстояние от ( A(7; 2) ) до ( M(1; 0) ):

[ d_{AM} = \sqrt{(1 - 7)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}. ]

Расстояние от ( M(1; 0) ) до ( B(-5; -2) ):

[ d_{MB} = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}. ]

Так как ( d{AM} = d{MB} ), точка ( M ) действительно является серединой отрезка ( AB ).

Ответ:

Координаты точки ( M ): ( (1; 0) ).

Чтобы найти координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, нужно воспользоваться формулой для нахождения середины отрезка. Если у нас есть две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), то координаты точки M, являющейся серединой отрезка AB, вычисляются по следующим формулам:

[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2} ] [ M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} ]

Где:

• (M_x) и (M_y) — координаты точки M,
• (x_1) и (y_1) — координаты точки A,
• (x_2) и (y_2) — координаты точки B.

В нашем случае:

• Точка A имеет координаты (7; 2), то есть (x_1 = 7) и (y_1 = 2).
• Точка B имеет координаты (−5; −2), то есть (x_2 = -5) и (y_2 = -2).

Теперь подставим эти значения в формулы:

1. Находим (M_x): [ M_x = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 ]

2. Находим (M_y): [ M_y = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{2 - 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 ]

Таким образом, координаты точки M, являющейся серединой отрезка AB, равны (1; 0).

Итак, ответ: координаты точки M — (1; 0).