Найди корни уравнения sin5x=1/2

Для того чтобы найти корни уравнения sin(5x) = 1/2, мы должны использовать тригонометрические свойства и формулы. Сначала найдем значения углов, для которых sin(x) = 1/2. Это происходит при углах 30 градусов или π/6 радиан. Таким образом, мы можем записать уравнение как 5x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь, чтобы найти конкретные значения x, мы делим обе стороны на 5: x = (π/6 + 2πn) / 5. Таким образом, мы получаем бесконечное количество корней для данного уравнения.

Например, если n = 0, то x = π/30. Если n = 1, то x = (π/6 + 2π) / 5 = 7π/30. И так далее.

Таким образом, корни уравнения sin(5x) = 1/2 будут иметь вид x = (π/6 + 2πn) / 5, где n - целое число.

Корни уравнения sin5x=1/2: x=π/10 + 2πn, x=9π/10 + 2πn, где n - целое число.

Чтобы найти корни уравнения (\sin 5x = \frac{1}{2}), рассмотрим основные шаги решения тригонометрического уравнения.

1. Основные значения синуса: Синус принимает значение (\frac{1}{2}) при следующих углах: [ \alpha = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \alpha = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, ] где (k) — целое число.

2. Применение формулы: В нашем уравнении (\sin 5x = \frac{1}{2}), поэтому мы можем записать: [ 5x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 5x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. ]

3. Решение уравнений: Разделим каждое уравнение на 5, чтобы найти (x):

   • Для первого уравнения: [ x = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5}, ]

   • Для второго уравнения: [ x = \frac{\pi}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}, ] [ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{5}. ]

4. Общий вид решения: Объединяя оба набора решений, получаем: [ x = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5}, ] что можно записать как: [ x = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{5}. ]

Таким образом, корни уравнения (\sin 5x = \frac{1}{2}) имеют вид: [ x = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{5}, ] где (k) — целое число. Эти решения представляют все возможные значения (x), при которых синус функции (5x) равен (\frac{1}{2}).