Найди наибольшее и наименьшее значения функции y=3sinxcosx+1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( y = 3\sin(x)\cos(x) + 1 ) сначала упростим выражение с использованием тригонометрической идентичности.

Мы знаем, что: [ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ]

Тогда можем переписать функцию следующим образом: [ y = 3\sin(x)\cos(x) + 1 = \frac{3}{2} \cdot 2\sin(x)\cos(x) + 1 = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 ]

Теперь наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции: [ y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 ]

Знаем, что функция (\sin(2x)) принимает значения в диапазоне от -1 до 1 включительно. Следовательно, (\frac{3}{2} \sin(2x)) будет принимать значения в диапазоне: [ -\frac{3}{2} \leq \frac{3}{2} \sin(2x) \leq \frac{3}{2} ]

Добавляя 1 к каждому члену неравенства, получаем: [ -\frac{3}{2} + 1 \leq \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 \leq \frac{3}{2} + 1 ]

Это приводит к: [ -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} ] и [ \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} ]

Итак, наименьшее значение функции ( y ) равно (-\frac{1}{2}), а наибольшее значение равно (\frac{5}{2}).

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = 3\sin(x)\cos(x) + 1 ) равно (\frac{5}{2}), а наименьшее значение равно (-\frac{1}{2}).

Наибольшее значение функции y=3sinxcosx+1 равно 2, наименьшее значение равно 1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=3sin(x)cos(x)+1 необходимо использовать метод дифференцирования.

Сначала найдем производную данной функции: y' = 3(cos^2(x) - sin^2(x)) = 3cos(2x)

Для нахождения критических точек необходимо найти значения x, при которых производная равна нулю: 3cos(2x) = 0 cos(2x) = 0 2x = π/2 + πk, где k - целое число x = π/4 + πk/2

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках: y(π/4) = 3sin(π/4)cos(π/4) + 1 = 3(√2/2 √2/2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2 y(3π/4) = 3sin(3π/4)cos(3π/4) + 1 = 3(-√2/2 -√2/2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции y=3sin(x)cos(x)+1 равны 5/2.