Найди наибольшее и наименьшее значения функции y=3sinxcosx+1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y=3\sin (x$\cos$x$ + 1 ) сначала упростим выражение с использованием тригонометрической идентичности.

Мы знаем, что: $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

Тогда можем переписать функцию следующим образом: $y=3\sin (x)\cos (x)+1=\frac{3}{2}\cdot 2\sin (x)\cos (x)+1=\frac{3}{2}\sin (2x)+1$

Теперь наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции: $y=\frac{3}{2}\sin (2x)+1$

Знаем, что функция $\sin (2x$) принимает значения в диапазоне от -1 до 1 включительно. Следовательно, $\frac{3}{2}\sin (2x$) будет принимать значения в диапазоне: $-\frac{3}{2}\le \frac{3}{2}\sin (2x)\le \frac{3}{2}$

Добавляя 1 к каждому члену неравенства, получаем: $-\frac{3}{2}+1\le \frac{3}{2}\sin (2x)+1\le \frac{3}{2}+1$

Это приводит к: $-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$

Итак, наименьшее значение функции $y$ равно $-\frac{1}{2}$, а наибольшее значение равно $\frac{5}{2}$.

Таким образом, наибольшее значение функции $y=3\sin (x$\cos$x$ + 1 ) равно $\frac{5}{2}$, а наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

Наибольшее значение функции y=3sinxcosx+1 равно 2, наименьшее значение равно 1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=3sin$x$cos$x$+1 необходимо использовать метод дифференцирования.

Сначала найдем производную данной функции: y' = 3$co{s}^2(x$ - sin^2$x$) = 3cos$2x$

Для нахождения критических точек необходимо найти значения x, при которых производная равна нулю: 3cos$2x$ = 0 cos$2x$ = 0 2x = π/2 + πk, где k - целое число x = π/4 + πk/2

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках: y$\pi /4$ = 3sin$\pi /4$cos$\pi /4$ + 1 = 3(√2/2 √2/2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2 y$3\pi /4$ = 3sin$3\pi /4$cos$3\pi /4$ + 1 = 3(-√2/2 -√2/2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции y=3sin$x$cos$x$+1 равны 5/2.