Найдите 26 sin α, если cos α = 12/13 и 3π/2 < a < 2π

Для решения данной задачи мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Из условия задачи мы знаем, что cos α = 12/13. Поскольку cos α = adjacent/hypotenuse, мы можем представить себе прямоугольный треугольник, в котором смежный катет равен 12, а гипотенуза равна 13. Таким образом, мы можем найти третий катет, используя теорему Пифагора:

a^2 + 12^2 = 13^2 a^2 + 144 = 169 a^2 = 25 a = 5

Теперь, чтобы найти sin α, мы можем использовать определение sin α = opposite/hypotenuse. Определенный нами третий катет равен 5, поэтому:

sin α = 5/13

Далее, чтобы найти 26 sin α, мы можем просто умножить sin α на 26:

26 * (5/13) = 130/13 = 10

Итак, 26 sin α равно 10.

Для того чтобы найти ( 26 \sin \alpha ), нам нужно сначала определить значение (\sin \alpha), зная, что (\cos \alpha = \frac{12}{13}) и (\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi).

1. Определение квадранта:

   • Диапазон угла (\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi) указывает, что угол (\alpha) находится в IV квадранте. В этом квадранте (\cos \alpha) положителен, а (\sin \alpha) отрицателен.

2. Использование основного тригонометрического тождества:

   • Основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1).
   • Подставим известное значение (\cos \alpha = \frac{12}{13}): [ \sin^2 \alpha + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 ]
   • Вычислим (\left(\frac{12}{13}\right)^2): [ \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} ]
   • Подставим в уравнение: [ \sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1 ]
   • Решим уравнение для (\sin^2 \alpha): [ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} ] [ \sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} ] [ \sin^2 \alpha = \frac{25}{169} ]

3. Нахождение (\sin \alpha):

   • Из (\sin^2 \alpha = \frac{25}{169}) следует, что: [ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13} ]
   • Так как (\alpha) находится в IV квадранте, где (\sin \alpha) отрицателен, получаем: [ \sin \alpha = -\frac{5}{13} ]

4. Нахождение ( 26 \sin \alpha ):

   • Теперь, умножим (\sin \alpha) на 26: [ 26 \sin \alpha = 26 \left( -\frac{5}{13} \right) ] [ 26 \sin \alpha = -10 ]

Таким образом, ( 26 \sin \alpha = -10 ).