Найдите 5cos2α , если sinα = − 0,4 . С подробным решением пожалуйста.

Для решения данной задачи нам необходимо найти значение косинуса угла α, зная значение синуса α.

Известно, что sinα = −0,4. Так как синус отрицательный, то угол находится в третьем или четвертом квадранте. Так как синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то мы можем построить прямоугольный треугольник с противолежащим катетом -0,4 и гипотенузой 1. По теореме Пифагора находим значения катета, равного √(1^2 - (-0,4)^2) = √(1 - 0,16) = √0,84 = 0,917.

Теперь можем найти значение косинуса α, которое равно смежному катету к гипотенузе, то есть 0,917/1 = 0,917.

Теперь можем найти значение 5cos2α. cos2α = 2cos^2α - 1 cos2α = 2(0,917)^2 - 1 cos2α = 20,841489 - 1 cos2α = 1,682978 - 1 cos2α = 0,682978

Теперь умножаем это значение на 5: 5cos2α = 5*0,682978 = 3,41489

Итак, 5cos2α = 3,41489.

Для нахождения (5\cos 2\alpha), зная, что (\sin \alpha = -0,4), первым шагом будет найти (\cos \alpha).

1. Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Подставляем известное значение (\sin \alpha = -0,4): [ (-0,4)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ 0,16 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = 1 - 0,16 = 0,84 ] Таким образом, (\cos \alpha = \pm \sqrt{0,84}).

2. Определим знак (\cos \alpha). Так как (\sin \alpha) отрицателен, (\alpha) находится либо в III, либо в IV четверти. В III четверти (\cos \alpha) также отрицателен, а в IV четверти — положителен. Следовательно, (\cos \alpha) будет положительным: [ \cos \alpha = \sqrt{0,84} ]

3. Найдем (\cos 2\alpha) с помощью формулы двойного угла: [ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 ] Подставляем значение (\cos \alpha): [ \cos^2 \alpha = 0,84 \Rightarrow \cos 2\alpha = 2 \times 0,84 - 1 = 1,68 - 1 = 0,68 ]

4. Теперь найдем (5\cos 2\alpha): [ 5\cos 2\alpha = 5 \times 0,68 = 3,4 ]

Таким образом, (5\cos 2\alpha = 3,4).

5cos2α = 5(1 - 2sin^2α) sinα = -0.4 sin^2α = (-0.4)^2 = 0.16 cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - 0.16 = 0.84 cosα = √0.84 ≈ 0.9165 cos2α = 2cos^2α - 1 = 2(0.84) - 1 ≈ 0.68 5cos2α = 5(0.68) = 3.4

Ответ: 3.4