Найдите: ____ а) ∫√5-4x dx б) ∫ dx 1+16x²

Давайте разберем каждый из этих интегралов по отдельности.

а) (\int \sqrt{5 - 4x} \, dx)

Для решения этого интеграла можно использовать метод подстановки. Давайте введём замену переменной:

1. Пусть ( u = 5 - 4x ). Тогда производная ( du = -4 \, dx ), или ( dx = -\frac{1}{4} \, du ).

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах ( u ):

[ \int \sqrt{5 - 4x} \, dx = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{4}\right) \, du = -\frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du ]

1. Интегрируем ( u^{1/2} ):

[ \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2} ]

1. Подставляя назад ( u = 5 - 4x ), получаем:

[ -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (5 - 4x)^{3/2} = -\frac{1}{6} (5 - 4x)^{3/2} + C ]

Где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

б) (\int \frac{dx}{1 + 16x^2})

Этот интеграл имеет форму, которая может быть решена с использованием тригонометрической подстановки или через стандартный вид арктангенса. В данном случае, это соответствует стандартной формуле:

[ \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C ]

В нашем случае ( a^2 = 1 ) и ( b^2 = 16 ), следовательно, ( a = 1 ) и ( b = 4 ). Используя подстановку:

1. У нас ( a = 1 ), и ( x ) заменяется на ( \frac{x}{4} ).

2. Таким образом, интеграл становится:

[ \int \frac{dx}{1 + (4x)^2} = \frac{1}{4} \int \frac{d(4x)}{1 + (4x)^2} ]

1. По формуле:

[ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1} \arctan(4x) = \frac{1}{4} \arctan(4x) + C ]

Где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

Итак, результаты интегрирования:

• Для части а): (-\frac{1}{6} (5 - 4x)^{3/2} + C)
• Для части б): (\frac{1}{4} \arctan(4x) + C)

a) ∫√(5-4x) dx

Для начала решим подынтегральное выражение √(5-4x). Для этого проведем замену переменных: пусть u = 5-4x, тогда du = -4dx. Таким образом, dx = -du/4. Подставляем это в наше выражение:

∫√(5-4x) dx = ∫√u (-1/4) du = (-1/4) ∫√u du = (-1/4) (2/3) u^(3/2) + C = -1/6 * (5-4x)^(3/2) + C.

б) ∫ dx / (1+16x²)

Для интегрирования данной функции воспользуемся методом частных дробей. Разложим дробь на простейшие:

1 / (1 + 16x²) = A / (1 + 4x) + B / (1 - 4x)

Преобразуем это равенство:

1 = A(1 - 4x) + B(1 + 4x)

1 = (A + B) + (-4A + 4B)x

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0

-4A + 4B = 1

Решая эту систему уравнений, получаем A = 1/8, B = -1/8. Теперь интегрируем:

∫ dx / (1+16x²) = ∫ (1/8 (1/(1+4x) - 1/(1-4x))) dx = 1/8 (ln|1+4x| - ln|1-4x|) + C = 1/8 * ln|(1+4x)/(1-4x)| + C.