Найдите: a) f'$x$; б) f'$0$, если f$x$=x^2-5/x^2-1

Чтобы найти производную функции $f(x$ = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 1} ), воспользуемся правилом дифференцирования дробно-рациональных функций $правилоЛейбницадляпроизводнойотношенияфункций$. Если у нас есть функция $\frac{u(x)}{v(x)}$, то её производная вычисляется по формуле:

$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$

В нашем случае $u(x$ = x^2 - 5 ) и $v(x$ = x^2 - 1 ).

1. Найдём производные $u^{\prime }(x$ ) и $v^{\prime }(x$ ):

   $u^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2-5)=2x$

   $v^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x$

2. Подставим в формулу для производной:

   $f^{\prime }(x)=\frac{(2x)(x^2-1)-(x^2-5)(2x)}{(x^2-1{)}^2}$

   Упростим числитель:

   $(2x)(x^2-1)=2x^3-2x$

   $(x^2-5)(2x)=2x^3-10x$

   $2x^3-2x-(2x^3-10x)=2x^3-2x-2x^3+10x=8x$

3. Таким образом, производная функции $f(x$ ) равна:

   $f^{\prime }(x)=\frac{8x}{(x^2-1{)}^2}$

Теперь найдём $f^{\prime }(0$ ).

1. Подставим $x=0$ в выражение для производной:

   $f^{\prime }(0)=\frac{8\cdot 0}{(0^2-1{)}^2}=\frac{0}{1}=0$

Таким образом, ответы:

а) Производная функции: $f^{\prime }(x$ = \frac{8x}{$x^2-1$^2} ).

б) Значение производной в точке $x=0$: $f^{\prime }(0$ = 0 ).

a) Для нахождения производной функции f$x$ = x^2 - 5 / x^2 - 1 используем правило дифференцирования частного и применяем правило дифференцирования сложной функции:

f'$x$ = $(x^2-1$ 2x - $x^2-5$ 2x) / $x^2-1$^2 f'$x$ = $2x^3-2x-2x^3+10x$ / $x^2-1$^2 f'$x$ = 8x / $x^2-1$^2

б) Для нахождения значения производной f'$0$ подставим x = 0 в выражение для производной f'$x$:

f'$0$ = 8 * 0 / $0^2-1$^2 f'$0$ = 0 / 1 f'$0$ = 0

Таким образом, f'$0$ = 0.

a) f'$x$ = $2x(x^2-1$ - $x^2-5$$2x$)/$x^2-1$^2 = $2x^3-2x-2x^3+10x$/$x^2-1$^2 = 8x/$x^2-1$^2 б) f'$0$ = 0/$0-1$^2 = 0