Найдите: a) f'(x); б) f'(0), если f(x)=x^2-5/x^2-1

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 1} ), воспользуемся правилом дифференцирования дробно-рациональных функций (правило Лейбница для производной отношения функций). Если у нас есть функция ( \frac{u(x)}{v(x)} ), то её производная вычисляется по формуле:

[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]

В нашем случае ( u(x) = x^2 - 5 ) и ( v(x) = x^2 - 1 ).

1. Найдём производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

   [ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 5) = 2x ]

   [ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x ]

2. Подставим в формулу для производной:

   [ f'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 - 5)(2x)}{(x^2 - 1)^2} ]

   Упростим числитель:

   [ (2x)(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x ]

   [ (x^2 - 5)(2x) = 2x^3 - 10x ]

   [ 2x^3 - 2x - (2x^3 - 10x) = 2x^3 - 2x - 2x^3 + 10x = 8x ]

3. Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна:

   [ f'(x) = \frac{8x}{(x^2 - 1)^2} ]

Теперь найдём ( f'(0) ).

1. Подставим ( x = 0 ) в выражение для производной:

   [ f'(0) = \frac{8 \cdot 0}{(0^2 - 1)^2} = \frac{0}{1} = 0 ]

Таким образом, ответы:

а) Производная функции: ( f'(x) = \frac{8x}{(x^2 - 1)^2} ).

б) Значение производной в точке ( x = 0 ): ( f'(0) = 0 ).

a) Для нахождения производной функции f(x) = x^2 - 5 / x^2 - 1 используем правило дифференцирования частного и применяем правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = ((x^2 - 1) 2x - (x^2 - 5) 2x) / (x^2 - 1)^2 f'(x) = (2x^3 - 2x - 2x^3 + 10x) / (x^2 - 1)^2 f'(x) = 8x / (x^2 - 1)^2

б) Для нахождения значения производной f'(0) подставим x = 0 в выражение для производной f'(x):

f'(0) = 8 * 0 / (0^2 - 1)^2 f'(0) = 0 / 1 f'(0) = 0

Таким образом, f'(0) = 0.

a) f'(x) = (2x(x^2-1) - (x^2-5)(2x))/(x^2-1)^2 = (2x^3 - 2x - 2x^3 + 10x)/(x^2-1)^2 = 8x/(x^2-1)^2 б) f'(0) = 0/(0-1)^2 = 0