Найдите чётность/нечётность функции: y=(x²- 4x)/(2x-8) (дробь); y = x|x|. Помогите пожалуйста.

Давайте разберём обе функции по отдельности и выясним их чётность или нечётность.

1. Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} )

Чётность и нечётность функций

Чтобы определить чётность или нечётность функции, нужно проверить её поведение при замене ( x ) на ( -x ):

• Функция чётная, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения.
• Функция нечётная, если ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x ) из области определения.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Область определения

Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} ) является дробной. Дробь определена, если знаменатель не равен нулю. Значит, нам нужно исключить из области определения значение ( x = 8 ), так как при этом знаменатель обращается в 0 (( 2x - 8 = 0 )).

Итак, область определения: ( x \in \mathbb{R} \setminus {8} ).

Проверка на чётность или нечётность

Подставляем ( -x ) вместо ( x ) в функцию:

[ f(-x) = \frac{(-x)^2 - 4(-x)}{2(-x) - 8}. ]

В числителе: [ (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x. ]

В знаменателе: [ 2(-x) - 8 = -2x - 8. ]

Таким образом: [ f(-x) = \frac{x^2 + 4x}{-2x - 8}. ]

Теперь сравним ( f(-x) ) с ( f(x) ): [ f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}. ]

Очевидно, что ( f(-x) \neq f(x) ) (значит, функция не чётная). Также ( f(-x) \neq -f(x) ), так как знаки числителя и знаменателя не меняются таким образом, чтобы выполнялось равенство ( f(-x) = -f(x) ).

Вывод: Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} ) не является ни чётной, ни нечётной.

2. Функция ( y = x|x| )

Область определения

Функция ( y = x|x| ) определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

Проверка на чётность или нечётность

Подставляем ( -x ) вместо ( x ) в функцию:

[ f(-x) = (-x)|-x| = (-x)(-x) = x^2. ]

Теперь сравним ( f(-x) ) с ( f(x) ): [ f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x > 0, \ -x^2, & x < 0. \end{cases} ]

Для ( f(-x) ): [ f(-x) = \begin{cases} x^2, & -x > 0 \;(\text{то есть } x < 0), \ -x^2, & -x < 0 \;(\text{то есть } x > 0). \end{cases} ]

Таким образом, ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x \neq 0 ).

Вывод: Функция ( y = x|x| ) является нечётной.

Итоговые выводы

1. Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} ) не является ни чётной, ни нечётной.
2. Функция ( y = x|x| ) является нечётной.

Чтобы определить чётность или нечётность функций, необходимо проверить, выполняются ли следующие условия:

1. Функция ( f(x) ) называется чётной, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) в области определения функции.
2. Функция ( f(x) ) называется нечётной, если ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x ) в области определения функции.

Теперь рассмотрим каждую из данных функций по отдельности.

1. Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} )

Сначала упростим функцию:

[ y = \frac{x^2 - 4x}{2(x - 4)} = \frac{x(x - 4)}{2(x - 4)} ]

При ( x \neq 4 ) мы можем сократить дробь:

[ y = \frac{x}{2}, \quad x \neq 4 ]

Теперь найдем ( f(-x) ):

[ f(-x) = \frac{-x}{2} ]

Теперь проверим условия чётности и нечётности:

• Чтобы функция была чётной, должно выполняться ( f(-x) = f(x) ):

[ \frac{-x}{2} \neq \frac{x}{2} ]

• Чтобы функция была нечётной, должно выполняться ( f(-x) = -f(x) ):

[ \frac{-x}{2} = -\frac{x}{2} ]

Это равенство выполняется. Следовательно, функция нечётная.

2. Функция ( y = x|x| )

Функция ( x|x| ) может быть представлена по-другому:

• Если ( x \geq 0 ), то ( |x| = x ), значит ( y = x^2 ).
• Если ( x < 0 ), то ( |x| = -x ), значит ( y = x(-x) = -x^2 ).

Теперь найдем ( f(-x) ):

• Если ( -x \geq 0 ) (т.е. ( x \leq 0 )), то ( f(-x) = (-x)|-x| = -x^2 ).
• Если ( -x < 0 ) (т.е. ( x > 0 )), то ( f(-x) = (-x)(x) = -x^2 ).

Таким образом, в обоих случаях получаем:

[ f(-x) = -x|x| = -f(x) ]

Это означает, что функция ( y = x|x| ) является нечётной.

Вывод

• Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} ) (при ( x \neq 4 )) является нечётной.
• Функция ( y = x|x| ) также является нечётной.

Таким образом, обе функции имеют одинаковую чётность — они обе нечётные.

1. Для функции ( y = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8} ):

   • Упростим: ( y = \frac{x(x - 4)}{2(x - 4)} = \frac{x}{2} ) при ( x \neq 4 ).
   • Функция ( y = \frac{x}{2} ) является нечётной, так как ( y(-x) = -\frac{x}{2} = -y(x) ).

2. Для функции ( y = x|x| ):

   • Разделим на два случая:
     • Если ( x \geq 0 ), то ( y = x^2 ).
     • Если ( x < 0 ), то ( y = -x^2 ).
   • Функция является нечётной, так как ( y(-x) = -x^2 = -y(x) ).

Итак, обе функции нечётные.