Найдите функцию обратную функции y=2/x+1 и укажите ее область определения и множество значений

Для нахождения обратной функции ( y = \frac{2}{x} + 1 ), нам нужно выразить ( x ) через ( y ), а затем поменять местами переменные.

1. Выразим ( x ) через ( y ): Начнем с исходного уравнения: [ y = \frac{2}{x} + 1 ] Выразим (\frac{2}{x}): [ y - 1 = \frac{2}{x} ] Теперь выразим ( x ): [ x = \frac{2}{y - 1} ]

2. Поменяем местами ( x ) и ( y ), чтобы получить обратную функцию: [ y = \frac{2}{x - 1} ] Следовательно, обратная функция будет: [ y = \frac{2}{x - 1} ]

Теперь определим область определения и множество значений для обратной функции.

Область определения

Область определения исходной функции ( y = \frac{2}{x} + 1 ):

• ( x \neq 0 ), так как деление на ноль не определено.

Обратная функция ( y = \frac{2}{x - 1} ):

• ( x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 ).

Таким образом, область определения обратной функции: [ D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \infty) ]

Множество значений

Множество значений исходной функции ( y = \frac{2}{x} + 1 ):

• При ( x \to 0^+ ), ( y \to +\infty )
• При ( x \to 0^- ), ( y \to -\infty )

Таким образом, множество значений исходной функции ( y ) — все вещественные числа, кроме 1: [ R(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \infty) ]

Так как множество значений исходной функции становится областью определения обратной функции и наоборот, то множество значений обратной функции также будет все вещественные числа, кроме 0: [ R(f^{-1}(x)) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) ]

Заключение

Итак, обратная функция для ( y = \frac{2}{x} + 1 ) это: [ f^{-1}(x) = \frac{2}{x - 1} ]

• Область определения: ( x \neq 1 )
• Множество значений: ( y \neq 0 )

Для того чтобы найти функцию обратную функции y=2/x+1, необходимо сначала выразить x через y. Для этого перепишем исходное уравнение в виде x=2/(y-1).

Теперь мы можем записать функцию обратную исходной функции: f^(-1)(y) = 2/(y-1)

Область определения функции обратной функции f^(-1)(y) будет такой, чтобы исходная функция y=2/x+1 определена. Так как знаменатель в исходной функции не равен нулю, то область определения функции обратной будет множество всех действительных чисел, кроме 1.

Множество значений функции обратной функции будет зависеть от области значений исходной функции. Исходная функция y=2/x+1 может принимать любые значения, кроме нуля, так как деление на ноль не определено. Следовательно, множество значений функции обратной будет множество всех действительных чисел, кроме нуля.