Найдите f'(x) и f' (x0), если f(x)= x cos x, x0=π/2

Для нахождения производной функции f(x) = x * cos(x) воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

(fg)' = f'g + fg'

Где f' - производная первой функции, а g' - производная второй функции.

f(x) = x cos(x) f'(x) = (x)' cos(x) + x (cos(x))' f'(x) = 1 cos(x) + x (-sin(x)) f'(x) = cos(x) - x sin(x)

Теперь найдем значение производной в точке x0 = π/2:

f'(π/2) = cos(π/2) - (π/2) sin(π/2) f'(π/2) = 0 - (π/2) 1 f'(π/2) = -π/2

Итак, f'(x) = cos(x) - x * sin(x), а f'(π/2) = -π/2.

Для того чтобы найти производную функции ( f(x) = x \cos x ) и её значение в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции ( f(x) )

Функция ( f(x) = x \cos x ) является произведением двух функций ( x ) и ( \cos x ). Чтобы найти её производную, воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если ( u(x) ) и ( v(x) ) — дифференцируемые функции, то производная их произведения ( u(x)v(x) ) вычисляется по формуле: [ (uv)' = u'v + uv' ]

В нашем случае: [ u(x) = x ] [ v(x) = \cos x ]

Теперь найдём производные ( u(x) ) и ( v(x) ): [ u'(x) = 1 ] [ v'(x) = -\sin x ]

Применим правило произведения: [ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) ] [ f'(x) = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) ] [ f'(x) = \cos x - x \sin x ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = x \cos x ) равна: [ f'(x) = \cos x - x \sin x ]

Шаг 2: Найти значение производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} )

Теперь подставим ( x_0 = \frac{\pi}{2} ) в найденную производную ( f'(x) ): [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) ]

Зная значения тригонометрических функций в точке ( \frac{\pi}{2} ): [ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 ] [ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 ]

Подставим эти значения: [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1 ] [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} ]

Итог

1. Производная функции ( f(x) = x \cos x ) равна: [ f'(x) = \cos x - x \sin x ]

2. Значение производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ) равно: [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} ]