Найдите f'(x),f'(x0),если f(x)=6x^4+5x^3+3x^2+3,x0=1

Чтобы найти производную функции ( f(x) ) и значение этой производной в точке ( x_0 = 1 ), следуем следующим шагам:

1. Найти производную функции ( f(x) ):

Функция ( f(x) ) задана как: [ f(x) = 6x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 3 ]

Производная функции ( f(x) ) обозначается как ( f'(x) ). Для нахождения производной, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ).
• Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Применим эти правила к каждому члену функции ( f(x) ):

[ \begin{aligned} &\text{Для } 6x^4: \quad \frac{d}{dx}(6x^4) = 6 \cdot 4x^{4-1} = 24x^3, \ &\text{Для } 5x^3: \quad \frac{d}{dx}(5x^3) = 5 \cdot 3x^{3-1} = 15x^2, \ &\text{Для } 3x^2: \quad \frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x, \ &\text{Для } 3: \quad \frac{d}{dx}(3) = 0 \text{ (поскольку производная константы равна нулю)}. \end{aligned} ]

Теперь сложим все эти производные:

[ f'(x) = 24x^3 + 15x^2 + 6x ]

Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна: [ f'(x) = 24x^3 + 15x^2 + 6x ]

1. Найти значение производной ( f'(x) ) в точке ( x_0 = 1 ):

Теперь подставим ( x_0 = 1 ) в ( f'(x) ):

[ f'(1) = 24(1)^3 + 15(1)^2 + 6(1) ]

Выполним вычисления:

[ \begin{aligned} &24(1)^3 = 24 \cdot 1 = 24, \ &15(1)^2 = 15 \cdot 1 = 15, \ &6(1) = 6. \end{aligned} ]

Теперь сложим эти значения:

[ f'(1) = 24 + 15 + 6 = 45 ]

Таким образом, значение производной функции ( f(x) ) в точке ( x_0 = 1 ) равно 45.

Итак, мы нашли: [ f'(x) = 24x^3 + 15x^2 + 6x ] и [ f'(1) = 45 ]

Для нахождения производной функции f(x) = 6x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 3 по переменной x необходимо продифференцировать каждый член данного выражения по отдельности.

f'(x) = d/dx (6x^4) + d/dx (5x^3) + d/dx (3x^2) + d/dx (3) = 24x^3 + 15x^2 + 6x

Теперь, чтобы найти f'(x0), где x0 = 1, мы подставляем значение x0 в выражение для производной f'(x):

f'(1) = 24(1)^3 + 15(1)^2 + 6(1) = 24 + 15 + 6 = 45

Таким образом, f'(x) = 24x^3 + 15x^2 + 6x, а f'(1) = 45.