Найдите f'$x$,f'$x0$,если f$x$=6x^4+5x^3+3x^2+3,x0=1

Чтобы найти производную функции $f(x$ ) и значение этой производной в точке $x_0=1$, следуем следующим шагам:

1. Найти производную функции $f(x$ ):

Функция $f(x$ ) задана как: $f(x)=6x^4+5x^3+3x^2+3$

Производная функции $f(x$ ) обозначается как $f^{\prime }(x$ ). Для нахождения производной, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ равна $n{x}^{n-1}$.
• Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Применим эти правила к каждому члену функции $f(x$ ):

$\begin{array}{rlrlr}& \text{Для }6x^4:\frac{d}{dx}(6x^4)=6\cdot 4x^{4-1}=24x^3,& \text{Для }5x^3:\frac{d}{dx}(5x^3)=5\cdot 3x^{3-1}=15x^2,& \text{Для }3x^2:\frac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot 2x^{2-1}=6x,& \text{Для }3:\frac{d}{dx}(3)=0\text{ (поскольку производная константы равна нулю)}.\end{array}$

Теперь сложим все эти производные:

$f^{\prime }(x)=24x^3+15x^2+6x$

Таким образом, производная функции $f(x$ ) равна: $f^{\prime }(x)=24x^3+15x^2+6x$

1. Найти значение производной $f^{\prime }(x$ ) в точке $x_0=1$:

Теперь подставим $x_0=1$ в $f^{\prime }(x$ ):

$f^{\prime }(1)=24(1{)}^3+15(1{)}^2+6(1)$

Выполним вычисления:

$\begin{array}{rlrl}& 24(1{)}^3=24\cdot 1=24,& 15(1{)}^2=15\cdot 1=15,& 6(1)=6.\end{array}$

Теперь сложим эти значения:

$f^{\prime }(1)=24+15+6=45$

Таким образом, значение производной функции $f(x$ ) в точке $x_0=1$ равно 45.

Итак, мы нашли: $f^{\prime }(x)=24x^3+15x^2+6x$ и $f^{\prime }(1)=45$

Для нахождения производной функции f$x$ = 6x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 3 по переменной x необходимо продифференцировать каждый член данного выражения по отдельности.

f'$x$ = d/dx $6x^4$ + d/dx $5x^3$ + d/dx $3x^2$ + d/dx $3$ = 24x^3 + 15x^2 + 6x

Теперь, чтобы найти f'$x0$, где x0 = 1, мы подставляем значение x0 в выражение для производной f'$x$:

f'$1$ = 24$1$^3 + 15$1$^2 + 6$1$ = 24 + 15 + 6 = 45

Таким образом, f'$x$ = 24x^3 + 15x^2 + 6x, а f'$1$ = 45.