Найдите интервалы возрастания и убывания функции у= -1/4x^4-x-1

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции y = -1/4x^4 - x - 1, нужно вычислить производную данной функции.

После нахождения производной, необходимо найти ее корни, которые будут точками экстремума функции. После этого можно составить таблицу знаков производной и определить интервалы возрастания и убывания функции.

Производная функции y = -1/4x^4 - x - 1 равна y' = -x^3 - 1.

Далее находим корни производной, приравнивая ее к нулю: -x^3 - 1 = 0 -x^3 = 1 x^3 = -1 x = -1

Таким образом, точка x = -1 является точкой экстремума функции.

Составим таблицу знаков производной: x < -1, y' > 0 => функция возрастает x > -1, y' < 0 => функция убывает

Итак, функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, +∞).

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции ( y = -\frac{1}{4}x^4 - x - 1 ), нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение первой производной и анализ критических точек.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Первая производная функции ( y = -\frac{1}{4}x^4 - x - 1 ) позволяет определить скорость изменения функции и найти критические точки, где функция может менять свое поведение.

[ y = -\frac{1}{4}x^4 - x - 1 ]

Применим правила дифференцирования:

[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}x^4 - x - 1\right) ]

[ y' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 1 ]

[ y' = -x^3 - 1 ]

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не определена. В данном случае у нас полином, который определен на всей числовой оси, поэтому нам нужно только решить уравнение ( y' = 0 ):

[ -x^3 - 1 = 0 ]

[ -x^3 = 1 ]

[ x^3 = -1 ]

[ x = -1 ]

Таким образом, у нас есть одна критическая точка ( x = -1 ).

Шаг 3: Анализ знаков первой производной

Для определения интервалов возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знаки первой производной на интервалах, определенных критическими точками. В данном случае это интервалы ( (-\infty, -1) ) и ( (-1, \infty) ).

1. Интервал ( (-\infty, -1) ): Выберем пробную точку, например, ( x = -2 ):

   [ y'(-2) = -(-2)^3 - 1 = -(-8) - 1 = 8 - 1 = 7 ]

   Первая производная положительна (( y' > 0 )), значит, функция возрастает на интервале ( (-\infty, -1) ).

2. Интервал ( (-1, \infty) ): Выберем пробную точку, например, ( x = 0 ):

   [ y'(0) = -0^3 - 1 = -1 ]

   Первая производная отрицательна (( y' < 0 )), значит, функция убывает на интервале ( (-1, \infty) ).

Шаг 4: Итоговый ответ

На основании анализа первой производной, можем заключить:

• Функция ( y = -\frac{1}{4}x^4 - x - 1 ) возрастает на интервале ( (-\infty, -1) ).
• Функция ( y = -\frac{1}{4}x^4 - x - 1 ) убывает на интервале ( (-1, \infty) ).