Найдите корень уравнения: cos 4 пи x/3 = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень

Давайте последовательно решим уравнение:

Задано уравнение:
[ \cos\left(\frac{4\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2}. ]

1. Основное уравнение:

Из тригонометрии известно, что (\cos\theta = \frac{1}{2}) при следующих значениях угла (\theta):
[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

2. Замена переменной:

Обозначим (\frac{4\pi x}{3} = \theta), тогда:
[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

3. Подстановка (\theta):

Подставляем (\theta = \frac{4\pi x}{3}) в основное уравнение: [ \frac{4\pi x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n. ]

4. Решение для (x):

Теперь выражаем (x) из уравнения. Разделим обе стороны на (\frac{4\pi}{3}), что эквивалентно умножению на (\frac{3}{4\pi}): [ x = \pm \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{4\pi} + 2\pi n \cdot \frac{3}{4\pi}. ]

Упрощаем каждое слагаемое: [ x = \pm \frac{1}{4} + \frac{3n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Таким образом, общий вид решения: [ x = \frac{1}{4} + \frac{3n}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{4} + \frac{3n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

5. Поиск наибольшего отрицательного корня:

Нас интересует наибольший отрицательный корень. Рассмотрим оба решения:

1. (x = \frac{1}{4} + \frac{3n}{2}),
2. (x = -\frac{1}{4} + \frac{3n}{2}).

Рассмотрим (x = \frac{1}{4} + \frac{3n}{2}):

Для (n = -1):
[ x = \frac{1}{4} + \frac{3(-1)}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}. ] Для (n = 0):
[ x = \frac{1}{4} + \frac{3(0)}{2} = \frac{1}{4}. ] Таким образом, наибольший отрицательный корень для этого случая: (x = -\frac{5}{4}).

Рассмотрим (x = -\frac{1}{4} + \frac{3n}{2}):

Для (n = -1):
[ x = -\frac{1}{4} + \frac{3(-1)}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{7}{4}. ] Для (n = 0):
[ x = -\frac{1}{4} + \frac{3(0)}{2} = -\frac{1}{4}. ] Таким образом, наибольший отрицательный корень для этого случая: (x = -\frac{1}{4}).

6. Сравнение результатов:

Наибольший отрицательный корень среди всех возможных решений:
[ x = -\frac{1}{4}. ]

Ответ:

Наибольший отрицательный корень уравнения: [ x = -\frac{1}{4}. ]

Чтобы решить уравнение ( \cos\left(\frac{4\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2} ), найдем аргументы, при которых косинус равен ( \frac{1}{2} ). Это происходит при:

[ \frac{4\pi x}{3} = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Рассмотрим оба случая:

1. ( \frac{4\pi x}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{3} )
2. ( \frac{4\pi x}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{3} )

Решим первое уравнение:

[ \frac{4\pi x}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{3} ] [ 4\pi x = 6k\pi + \pi ] [ x = \frac{6k + 1}{4} ]

Теперь второе уравнение:

[ \frac{4\pi x}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{3} ] [ 4\pi x = 6k\pi - \pi ] [ x = \frac{6k - 1}{4} ]

Теперь найдем корни для ( k = -1, -2, -3 ) и так далее, чтобы получить наибольший отрицательный корень.

1. Для первого уравнения:

   • ( k = -1 ): ( x = \frac{6(-1) + 1}{4} = \frac{-6 + 1}{4} = -\frac{5}{4} )
   • ( k = -2 ): ( x = \frac{6(-2) + 1}{4} = \frac{-12 + 1}{4} = -\frac{11}{4} )
   • ( k = -3 ): ( x = \frac{6(-3) + 1}{4} = \frac{-18 + 1}{4} = -\frac{17}{4} )

2. Для второго уравнения:

   • ( k = -1 ): ( x = \frac{6(-1) - 1}{4} = \frac{-6 - 1}{4} = -\frac{7}{4} )
   • ( k = -2 ): ( x = \frac{6(-2) - 1}{4} = \frac{-12 - 1}{4} = -\frac{13}{4} )
   • ( k = -3 ): ( x = \frac{6(-3) - 1}{4} = \frac{-18 - 1}{4} = -\frac{19}{4} )

Теперь выбираем наибольший отрицательный корень из всех найденных:

• ( -\frac{5}{4} )
• ( -\frac{11}{4} )
• ( -\frac{17}{4} )
• ( -\frac{7}{4} )
• ( -\frac{13}{4} )
• ( -\frac{19}{4} )

Наибольший отрицательный корень: ( -\frac{5}{4} ).

Ответ: ( -\frac{5}{4} ).

Для решения уравнения (\cos\left(\frac{4\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2}) начнем с нахождения углов, при которых косинус равен (\frac{1}{2}). Известно, что (\cos(\theta) = \frac{1}{2}) при:

[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Теперь подставим (\theta = \frac{4\pi x}{3}) в оба уравнения.

1. Первое уравнение:

[ \frac{4\pi x}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на (\frac{3}{4\pi}):

[ x = \frac{1}{4} + \frac{3k}{2} ]

2. Второе уравнение:

[ \frac{4\pi x}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

Аналогично, умножим на (\frac{3}{4\pi}):

[ x = -\frac{1}{4} + \frac{3k}{2} ]

Теперь у нас есть два выражения для (x):

1. (x = \frac{1}{4} + \frac{3k}{2})
2. (x = -\frac{1}{4} + \frac{3k}{2})

Находим корни

Рассмотрим оба выражения для разных целых (k).

Для первого выражения:

• При (k = 0): (x = \frac{1}{4})
• При (k = -1): (x = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4})
• При (k = -2): (x = \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{11}{4})

Для второго выражения:

• При (k = 0): (x = -\frac{1}{4})
• При (k = -1): (x = -\frac{1}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{7}{4})
• При (k = -2): (x = -\frac{1}{4} - 3 = -\frac{1}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{13}{4})

Наибольший отрицательный корень

Теперь соберем все найденные корни:

• Из первого уравнения: (\frac{1}{4}, -\frac{5}{4}, -\frac{11}{4})
• Из второго уравнения: (-\frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, -\frac{13}{4})

Наибольший отрицательный корень из всех найденных значений — это (-\frac{1}{4}).

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения (\cos\left(\frac{4\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2}) равен:

[ \boxed{-\frac{1}{4}} ]