Найдите корень уравнения cos п(2x-5)/4=sqrt2/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень можно...

Для нахождения корня уравнения cos(pi(2x-5)/4) = sqrt(2)/2, сначала приведем уравнение к более удобному виду. Так как cos(pi/4) = sqrt(2)/2, уравнение примет вид cos(pi(2x-5)/4) = cos(pi/4).

Используем тригонометрическую формулу для косинуса разности: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

Таким образом, уравнение перепишется в виде:

cos(pi(2x-5)/4 - pi/4) = 0.

Далее решим уравнение:

pi(2x-5)/4 - pi/4 = pi/2 + 2pi*n, где n - целое число.

2x - 5 = 2 + 8n.

2x = 7 + 8n.

x = 7/2 + 4n.

Наибольший отрицательный корень будет при n = -1, тогда x = 7/2 + 4(-1) = 7/2 - 4 = -1/2.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения cos(pi(2x-5)/4) = sqrt(2)/2 равен -1/2.

Давайте решим уравнение (\cos \frac{\pi(2x-5)}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}).

Шаг 1: Найдите общий вид решения уравнения

Значение (\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам (\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi) и (\theta = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi) для любого целого (k).

Шаг 2: Свяжите это с нашим уравнением

Подставьте (\frac{\pi(2x-5)}{4}) вместо (\theta):

1. (\frac{\pi(2x-5)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi)
2. (\frac{\pi(2x-5)}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi)

Шаг 3: Решите каждое уравнение

Уравнение 1:

[ \frac{\pi(2x-5)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на 4/(\pi): [ 2x-5 = 1 + 8k ]

Решим относительно (x): [ 2x = 6 + 8k ] [ x = 3 + 4k ]

Уравнение 2:

[ \frac{\pi(2x-5)}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на 4/(\pi): [ 2x-5 = 7 + 8k ]

Решим относительно (x): [ 2x = 12 + 8k ] [ x = 6 + 4k ]

Шаг 4: Найдите наибольший отрицательный корень

Корни из уравнения 1: (x = 3 + 4k)

Ищем наибольший отрицательный корень:

• При (k = -1), (x = 3 + 4(-1) = -1)
• При (k = 0), (x = 3) (не отрицательный)

Наибольший отрицательный корень: (x = -1).

Корни из уравнения 2: (x = 6 + 4k)

Ищем наибольший отрицательный корень:

• При (k = -2), (x = 6 + 4(-2) = -2)
• При (k = -1), (x = 6 + 4(-1) = 2) (не отрицательный)

Наибольший отрицательный корень из этого уравнения: (x = -2).

Итог

Наибольший отрицательный корень среди всех решений — это (x = -1).