Найдите корень уравнения:cos п(2х+9)/3=1/2,в ответе запишите наибольший отрицательный корень,с решением

Для решения уравнения (\cos\left(\frac{\pi(2x+9)}{3}\right) = \frac{1}{2}) найдем все значения (x).

1. Зная, что (\cos(\theta) = \frac{1}{2}) при (\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi) (где (k) — целое число), запишем:

[ \frac{\pi(2x+9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] [ \frac{\pi(2x+9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

1. Упростим первое уравнение:

[ 2x + 9 = 1 + 6k \implies 2x = 6k - 8 \implies x = 3k - 4 ]

1. Упростим второе уравнение:

[ 2x + 9 = -1 + 6k \implies 2x = 6k - 10 \implies x = 3k - 5 ]

1. Теперь найдем корни для различных значений (k):

• Для (x = 3k - 4):

  • При (k = -1: x = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7)
  • При (k = 0: x = 3(0) - 4 = -4)
  • При (k = 1: x = 3(1) - 4 = -1)

• Для (x = 3k - 5):

  • При (k = -1: x = 3(-1) - 5 = -3 - 5 = -8)
  • При (k = 0: x = 3(0) - 5 = -5)
  • При (k = 1: x = 3(1) - 5 = -2)

1. Теперь соберем все найденные корни:

• Из первого уравнения: (-7, -4, -1)
• Из второго уравнения: (-8, -5, -2)

1. Наибольший отрицательный корень:

[ \text{Наибольший отрицательный корень} = -1 ]

Ответ: (-1)

Рассмотрим уравнение:

[ \cos\left(\frac{\pi (2x + 9)}{3}\right) = \frac{1}{2}. ]

1. Основное свойство косинуса

Косинус равен ( \frac{1}{2} ) в следующих точках (по основному тригонометрическому кругу): [ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ] Здесь ( \theta = \frac{\pi (2x + 9)}{3} ).

2. Подставляем в уравнение

Приравняем аргумент косинуса к найденным значениям: [ \frac{\pi (2x + 9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] и [ \frac{\pi (2x + 9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi. ]

3. Решаем первое уравнение

Упростим первое уравнение: [ \frac{\pi (2x + 9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi. ] Умножим обе части на ( \frac{3}{\pi} ), чтобы избавиться от ( \pi ): [ 2x + 9 = 1 + 6k. ] Перенесем ( 9 ) в правую часть: [ 2x = -8 + 6k. ] Разделим обе части на ( 2 ): [ x = -4 + 3k. ]

4. Решаем второе уравнение

Упростим второе уравнение: [ \frac{\pi (2x + 9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi. ] Умножим обе части на ( \frac{3}{\pi} ): [ 2x + 9 = -1 + 6k. ] Перенесем ( 9 ) в правую часть: [ 2x = -10 + 6k. ] Разделим обе части на ( 2 ): [ x = -5 + 3k. ]

5. Общий вид решения

Находим общий вид решений:

1. Для первого уравнения: ( x = -4 + 3k ).
2. Для второго уравнения: ( x = -5 + 3k ).

6. Наибольший отрицательный корень

Теперь найдем наибольший отрицательный корень для каждого случая.

Для ( x = -4 + 3k ):

1. Пусть ( k = 0 ): ( x = -4 ).
2. Пусть ( k = -1 ): ( x = -4 - 3 = -7 ).

Наибольший отрицательный корень: ( x = -4 ).

Для ( x = -5 + 3k ):

1. Пусть ( k = 0 ): ( x = -5 ).
2. Пусть ( k = -1 ): ( x = -5 - 3 = -8 ).

Наибольший отрицательный корень: ( x = -5 ).

7. Выбор наибольшего отрицательного корня

Сравниваем ( x = -4 ) и ( x = -5 ). Наибольший отрицательный корень — ( x = -4 ).

Ответ:

Наибольший отрицательный корень: ( x = -4 ).

Чтобы найти корень уравнения ( \cos\left(\frac{\pi(2x + 9)}{3}\right) = \frac{1}{2} ), начнем с того, что мы знаем, что косинус принимает значение ( \frac{1}{2} ) при следующих углах:

[ \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Следовательно, мы можем записать два уравнения:

1. (\frac{\pi(2x + 9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi)
2. (\frac{\pi(2x + 9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi)

Решим первое уравнение:

[ \frac{\pi(2x + 9)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на ( \frac{3}{\pi} ):

[ 2x + 9 = 1 + 6k ]

Теперь выразим ( x ):

[ 2x = 6k - 8 \implies x = 3k - 4 ]

Теперь решим второе уравнение:

[ \frac{\pi(2x + 9)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

Аналогично умножим обе стороны на ( \frac{3}{\pi} ):

[ 2x + 9 = -1 + 6k ]

Теперь выразим ( x ):

[ 2x = 6k - 10 \implies x = 3k - 5 ]

Теперь у нас есть два выражения для ( x ):

1. ( x = 3k - 4 )
2. ( x = 3k - 5 )

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, рассмотрим оба выражения и подставим различные целые значения ( k ).

1. Для ( x = 3k - 4 ):

   • Если ( k = -2 ): ( x = 3(-2) - 4 = -6 - 4 = -10 )
   • Если ( k = -1 ): ( x = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7 )
   • Если ( k = 0 ): ( x = -4 )

2. Для ( x = 3k - 5 ):

   • Если ( k = -2 ): ( x = 3(-2) - 5 = -6 - 5 = -11 )
   • Если ( k = -1 ): ( x = 3(-1) - 5 = -3 - 5 = -8 )
   • Если ( k = 0 ): ( x = -5 )

Теперь соберем все найденные корни:

• Из первого выражения: ( -10, -7, -4 )
• Из второго выражения: ( -11, -8, -5 )

Наибольший отрицательный корень среди всех найденных:

[ \max(-10, -7, -4, -11, -8, -5) = -4 ]

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения:

[ \boxed{-4} ]