Найдите корни уравнения sin3x+cos3x=0, принадлежащие отрезку [0;6]

Рассмотрим уравнение:

[ \sin(3x) + \cos(3x) = 0. ]

Для начала упростим его. Переносим (\cos(3x)) в правую часть уравнения:

[ \sin(3x) = -\cos(3x). ]

Делим обе стороны уравнения на (\cos(3x)) (при условии, что (\cos(3x) \neq 0)):

[ \tan(3x) = -1. ]

Рассмотрим решение уравнения (\tan(3x) = -1). Это уравнение выполняется, когда аргумент тангенса равен углу, при котором тангенс равен -1.

Значения (\tan(\theta) = -1) достигаются при:

[ 3x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, ]

где (k) — любое целое число.

Разделим обе стороны на 3:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}. ]

Теперь найдем такие значения (k), при которых (x) будет принадлежать отрезку ([0; 6]).

Рассмотрим неравенство:

[ 0 \leq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3} \leq 6. ]

Умножим все части неравенства на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

[ 0 \leq 3\pi + 4k\pi \leq 72. ]

Разделим все части на (\pi):

[ 0 \leq 3 + 4k \leq \frac{72}{\pi}. ]

Приблизительно (\frac{72}{\pi} \approx 22.9183), то есть:

[ 0 \leq 3 + 4k \leq 22.9183. ]

Вычтем 3 из всех частей:

[ -3 \leq 4k \leq 19.9183. ]

Разделим все части на 4:

[ -0.75 \leq k \leq 4.9796. ]

Так как (k) должно быть целым числом, возможные значения (k) — это (k = 0, 1, 2, 3, 4).

Подставим эти значения (k) в наше выражение для (x):

1. Для (k = 0): [ x = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854. ]

2. Для (k = 1): [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12} \approx 1.8326. ]

3. Для (k = 2): [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{12} \approx 2.8798. ]

4. Для (k = 3): [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{3} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927. ]

5. Для (k = 4): [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{19\pi}{12} \approx 4.974. ]

Таким образом, корни уравнения (\sin(3x) + \cos(3x) = 0), принадлежащие отрезку ([0; 6]), это:

[ x \approx 0.7854, 1.8326, 2.8798, 3.927, 4.974. ]

Перечисленные значения удовлетворяют исходному уравнению и принадлежат заданному отрезку.

Для нахождения корней уравнения sin3x + cos3x = 0 на отрезке [0;6] сначала преобразуем уравнение:

sin3x = -cos3x

tg3x = -1

3x = arctg(-1) + πn, где n - целое число

3x = -π/4 + πn

x = (-π/4 + πn) / 3

Так как корни заданы на отрезке [0;6], то нужно найти значения x, удовлетворяющие этому условию:

0 ≤ x ≤ 6

(-π/4)/3 ≤ x ≤ (23π/4)/3

-π/12 ≤ x ≤ 23π/12

Итак, корни уравнения sin3x + cos3x = 0, принадлежащие отрезку [0;6], будут в пределах от -π/12 до 23π/12.