Найдите корни уравнения sin3x+cos3x=0, принадлежащие отрезку $0;6$

Рассмотрим уравнение:

$\sin (3x)+\cos (3x)=0.$

Для начала упростим его. Переносим $\cos (3x$) в правую часть уравнения:

$\sin (3x)=-\cos (3x).$

Делим обе стороны уравнения на $\cos (3x$) $приусловии,что(\cos (3x$ \neq 0)):

$\tan (3x)=-1.$

Рассмотрим решение уравнения $\tan (3x$ = -1). Это уравнение выполняется, когда аргумент тангенса равен углу, при котором тангенс равен -1.

Значения $\tan (\theta$ = -1) достигаются при:

$3x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,$

где $k$ — любое целое число.

Разделим обе стороны на 3:

$x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}.$

Теперь найдем такие значения $k$, при которых $x$ будет принадлежать отрезку $[0;6]$.

Рассмотрим неравенство:

$0\le \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\le 6.$

Умножим все части неравенства на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$0\le 3\pi +4k\pi \le 72.$

Разделим все части на $\pi$:

$0\le 3+4k\le \frac{72}{\pi }.$

Приблизительно $\frac{72}{\pi }\approx 22.9183$, то есть:

$0\le 3+4k\le 22.9183.$

Вычтем 3 из всех частей:

$-3\le 4k\le 19.9183.$

Разделим все части на 4:

$-0.75\le k\le 4.9796.$

Так как $k$ должно быть целым числом, возможные значения $k$ — это $k=0,1,2,3,4$.

Подставим эти значения $k$ в наше выражение для $x$:

1. Для $k=0$: $x=\frac{\pi }{4}\approx 0.7854.$

2. Для $k=1$: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{12}\approx 1.8326.$

3. Для $k=2$: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{12}\approx 2.8798.$

4. Для $k=3$: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{3}=\frac{15\pi }{12}=\frac{5\pi }{4}\approx 3.927.$

5. Для $k=4$: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{3}=\frac{19\pi }{12}\approx 4.974.$

Таким образом, корни уравнения $\sin (3x$ + \cos$3x$ = 0), принадлежащие отрезку $[0;6]$, это:

$x\approx 0.7854,1.8326,2.8798,3.927,4.974.$

Перечисленные значения удовлетворяют исходному уравнению и принадлежат заданному отрезку.

Для нахождения корней уравнения sin3x + cos3x = 0 на отрезке $0;6$ сначала преобразуем уравнение:

sin3x = -cos3x

tg3x = -1

3x = arctg$-1$ + πn, где n - целое число

3x = -π/4 + πn

x = $-\pi /4+\pi n$ / 3

Так как корни заданы на отрезке $0;6$, то нужно найти значения x, удовлетворяющие этому условию:

0 ≤ x ≤ 6

$-\pi /4$/3 ≤ x ≤ $23\pi /4$/3

-π/12 ≤ x ≤ 23π/12

Итак, корни уравнения sin3x + cos3x = 0, принадлежащие отрезку $0;6$, будут в пределах от -π/12 до 23π/12.