Найдите множество решений неравенства -6x^2+6x+36>=0

Для того чтобы найти множество решений данного неравенства, нужно сначала найти корни квадратного уравнения -6x^2 + 6x + 36 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта и найдем его значение:

D = b^2 - 4ac D = 6^2 - 4(-6)36 D = 36 + 864 D = 900

Так как дискриминант D равен 900 и больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня. Далее найдем сами корни уравнения с помощью формулы:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1 = (6 + √900) / (-12) = -0.5 x2 = (6 - √900) / (-12) = 3

Таким образом, у нас есть два корня уравнения: x1 = -0.5 и x2 = 3. Теперь можем построить график параболы y = -6x^2 + 6x + 36 и определить, в каких интервалах функция больше или меньше нуля. После анализа графика можно сделать вывод, что множество решений неравенства -6x^2 + 6x + 36 ≥ 0 будет состоять из двух интервалов: (-∞, -0.5] и [3, +∞).

Для решения неравенства (-6x^2 + 6x + 36 \geq 0), начнем с анализа соответствующего квадратного уравнения:

[ -6x^2 + 6x + 36 = 0. ]

Это уравнение можно упростить, разделив все его члены на -6 (поскольку коэффициент при (x^2) отрицательный, это упростит определение знаков):

[ x^2 - x - 6 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где (a = 1), (b = -1), (c = -6).

1. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. ]

1. Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}. ]

Таким образом, корни:

[ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, ]

[ x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2. ]

Теперь у нас есть уравнение, которое имеет корни (x = 3) и (x = -2). Это позволяет нам записать его как:

[ (x - 3)(x + 2) = 0. ]

Теперь вернемся к неравенству. Мы рассматриваем:

[ -6(x - 3)(x + 2) \geq 0. ]

Определим знаки произведения ((x - 3)(x + 2)) на промежутках, определяемых корнями:

1. (x < -2),
2. (-2 \leq x \leq 3),
3. (x > 3).

Анализ знаков:

1. На интервале (x < -2): ((x - 3) < 0) и ((x + 2) < 0), следовательно, ((x - 3)(x + 2) > 0), но с учетом отрицательного множителя -6, выражение будет отрицательным.

2. На интервале (-2 \leq x \leq 3): ((x - 3) \leq 0) и ((x + 2) \geq 0), следовательно, ((x - 3)(x + 2) \leq 0), но с учетом множителя -6, неравенство выполняется.

3. На интервале (x > 3): ((x - 3) > 0) и ((x + 2) > 0), следовательно, ((x - 3)(x + 2) > 0), и с множителем -6 выражение будет отрицательным.

Таким образом, множество решений неравенства (-6x^2 + 6x + 36 \geq 0) — это отрезок:

[ x \in [-2, 3]. ]