Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^2+6*x на промежутке [-4;0]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=x^2+6*x на промежутке [-4;0] необходимо найти экстремумы этой функции на данном отрезке. Для этого сначала найдем производную данной функции:

y' = 2x + 6.

Далее приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума:

2x + 6 = 0, 2x = -6, x = -3.

Получаем, что точка экстремума функции находится при x = -3. Далее подставим эту точку в исходное уравнение для нахождения значений функции:

y(-3) = (-3)^2 + 6*(-3) = 9 - 18 = -9.

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [-4;0] равно -9 и достигается при x = -3.

Теперь найдем наибольшее значение функции на данном промежутке. Так как функция на отрезке [-4;0] убывает до точки экстремума x = -3 и возрастает после этой точки, то наибольшее значение функции будет находиться на краях промежутка.

Подставим концы отрезка [-4;0] в функцию:

y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) = 16 - 24 = -8, y(0) = 0^2 + 60 = 0.

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [-4;0] равно 0 и достигается при x = 0.

Итак, наименьшее значение функции равно -9 и достигается при x = -3, а наибольшее значение функции равно 0 и достигается при x = 0.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( y = x^2 + 6x ) на промежутке ([-4; 0]), следуем этим шагам:

1. Найдите критические точки функции: Для этого вычислим производную функции и найдём точки, где производная равна нулю или не существует.

[ y = x^2 + 6x ]

[ y' = 2x + 6 ]

Решим уравнение ( y' = 0 ):

[ 2x + 6 = 0 ]

[ 2x = -6 ]

[ x = -3 ]

Таким образом, ( x = -3 ) — это критическая точка функции ( y = x^2 + 6x ).

1. Проверим значение функции в критической точке и на концах отрезка: Нам нужно вычислить значения функции в точках ( x = -4 ), ( x = 0 ) и ( x = -3 ).

[ y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) = 16 - 24 = -8 ]

[ y(0) = 0^2 + 6(0) = 0 ]

[ y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) = 9 - 18 = -9 ]

1. Сравним значения функции в этих точках:

[ y(-4) = -8 ]

[ y(0) = 0 ]

[ y(-3) = -9 ]

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([-4; 0]) — это (-9), а наибольшее значение — (0).

Ответ:

Наименьшее значение функции ( y = x^2 + 6x ) на промежутке ([-4; 0]) равно (-9) и достигается в точке ( x = -3 ).

Наибольшее значение функции ( y = x^2 + 6x ) на промежутке ([-4; 0]) равно (0) и достигается в точке ( x = 0 ).