Найдите наибольшее значение функции у=х^3+2x^2-4x-4 на отрезке [-2;0]

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = x^3 + 2x^2 - 4x - 4 ) на отрезке ([-2; 0]), следует рассмотреть несколько шагов:

1. Найдем производную функции.
   Производная функции ( y = x^3 + 2x^2 - 4x - 4 ) равна: [ y' = 3x^2 + 4x - 4 ]

2. Найдем критические точки.
   Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ): [ 3x^2 + 4x - 4 = 0 ] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 ] Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{6} ] [ x_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-12}{6} = -2 ]

3. Проверим точки на отрезке.
   Из критических точек ( x_1 = \frac{2}{3} ) не принадлежит отрезку ([-2; 0]), поэтому ее не рассматриваем. Точка ( x_2 = -2 ) принадлежит отрезку.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
   Проверим значения функции в точках ( x = -2 ) и на концах отрезка ( x = 0 ).

   • Для ( x = -2 ): [ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) - 4 = -8 + 8 + 8 - 4 = 4 ]

   • Для ( x = 0 ): [ y(0) = 0^3 + 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 4 = -4 ]

5. Сравним значения функции.
   Значения функции в критической точке и на концах отрезка: ( y(-2) = 4 ) и ( y(0) = -4 ).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-2; 0]) равно ( 4 ).

Для нахождения наибольшего значения функции у=х^3+2x^2-4x-4 на отрезке [-2;0] необходимо вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в критических точках (то есть точках, где производная функции равна нулю или не существует).

1. Найдем значения функции в конечных точках отрезка:

   • При х = -2: y = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) - 4 = -8 + 8 + 8 - 4 = 4;
   • При х = 0: y = 0^3 + 2(0)^2 - 4(0) - 4 = -4.

2. Найдем критические точки функции, вычислив ее производную и приравняв ее к нулю: y' = 3x^2 + 4x - 4.

3x^2 + 4x - 4 = 0.

Далее решим квадратное уравнение, чтобы найти критические точки. Получим два корня: x1 ≈ -2,15 и x2 ≈ 0,82.

1. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:
   • При x ≈ -2,15: y ≈ (-2,15)^3 + 2(-2,15)^2 - 4(-2,15) - 4 ≈ -3,81;
   • При x ≈ 0,82: y ≈ (0,82)^3 + 2(0,82)^2 - 4(0,82) - 4 ≈ -3,48.

Таким образом, наибольшее значение функции у=х^3+2x^2-4x-4 на отрезке [-2;0] равно 4 (достигается при x = -2).