Найдите наибольшее значение функции у=х^5 + 20 х^3 - 65х на отрезке от -4 до 0

Наибольшее значение функции у=х^5 + 20 х^3 - 65х на отрезке от -4 до 0 равно -256.

Для нахождения наибольшего значения функции у=х^5 + 20 х^3 - 65х на отрезке от -4 до 0 необходимо найти ее критические точки и точки экстремума.

1. Найдем производную функции у по х: y' = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

3. Решим уравнение: Получим два действительных корня: x = -3 и x = 1

4. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = (-4)^5 + 20(-4)^3 - 65(-4) = 256 - 320 + 260 = 196 y(0) = 0^5 + 200^3 - 650 = 0

5. Таким образом, наибольшее значение функции равно 196 и достигается в точке x = -4.

Для нахождения наибольшего значения функции ( y = x^5 + 20x^3 - 65x ) на отрезке ([-4, 0]) необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции и определить критические точки внутри отрезка: [ y' = 5x^4 + 60x^2 - 65 ]

2. Решить уравнение ( y' = 0 ) для нахождения стационарных точек: [ 5x^4 + 60x^2 - 65 = 0 ] Пусть ( z = x^2 ), тогда уравнение примет вид: [ 5z^2 + 60z - 65 = 0 ] Решим это квадратное уравнение: [ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 1300}}{10} = \frac{-60 \pm \sqrt{4900}}{10} = \frac{-60 \pm 70}{10} ] [ z_1 = 1, \quad z_2 = -13 \quad (\text{не подходит, так как } z = x^2 \geq 0) ] Таким образом, ( x^2 = 1 ), откуда ( x = 1 ) или ( x = -1 ). Поскольку нас интересует отрезок ([-4, 0]), то рассматриваем только ( x = -1 ).

3. Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • При ( x = -4 ): [ y(-4) = (-4)^5 + 20(-4)^3 - 65(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044 ]
   • При ( x = -1 ): [ y(-1) = (-1)^5 + 20(-1)^3 - 65(-1) = -1 - 20 + 65 = 44 ]
   • При ( x = 0 ): [ y(0) = 0^5 + 20 \cdot 0^3 - 65 \cdot 0 = 0 ]

Таким образом, на отрезке ([-4, 0]) наибольшее значение функции достигается при ( x = -1 ) и равно ( 44 ).