Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=(x+1)^2 (x-1) ; [-2;0]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции ( f(x) = (x+1)^2 (x-1) ) на отрезке ([-2; 0]), следуем стандартной процедуре анализа функции:

1. Определение критических точек:

   • Найдите производную функции ( f(x) ).
   • ( f(x) = (x+1)^2 (x-1) ).
   • Применим правило произведения для нахождения производной: [ f'(x) = \frac{d}{dx}[(x+1)^2] \cdot (x-1) + (x+1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x-1). ]
   • Сначала найдём производную ((x+1)^2): [ \frac{d}{dx}[(x+1)^2] = 2(x+1). ]
   • Для ((x-1)) производная равна 1.
   • Подставляем в формулу: [ f'(x) = 2(x+1)(x-1) + (x+1)^2 \cdot 1. ]
   • Упростим выражение: [ f'(x) = 2(x^2 - 1) + (x+1)^2 = 2x^2 - 2 + x^2 + 2x + 1. ] [ f'(x) = 3x^2 + 2x - 1. ]

2. Нахождение критических точек:

   • Решаем уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 + 2x - 1 = 0. ]
   • Используем дискриминант для нахождения корней: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16. ]
   • Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{6}. ] [ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1. ]

3. Проверка значений на концах отрезка и в критических точках, попадающих в отрезок:

   • На отрезке ([-2; 0]) проверяем (x = -2), (x = 0), и (x = -1) (так как (x = \frac{1}{3}) не входит в отрезок).
   • Вычисляем ( f(x) ) в этих точках:
     • ( f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-1) = 1 \times (-3) = -3 ).
     • ( f(-1) = ((-1)+1)^2((-1)-1) = 0 \times (-2) = 0 ).
     • ( f(0) = (0+1)^2(0-1) = 1 \times (-1) = -1 ).

4. Определение наибольшего и наименьшего значений:

   • Наименьшее значение функции на отрезке ([-2; 0]) равно (-3) при (x = -2).
   • Наибольшее значение функции равно (0) при (x = -1).

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно (-3), а наибольшее равно (0).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x)=(x+1)^2 (x-1) на отрезке [-2;0] необходимо проанализировать поведение функции на данном отрезке.

Для начала найдем производную функции f(x): f'(x) = 2(x+1)(x-1) + (x+1)^2 = 2x^2 - 2 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 2x - 1

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x^2 + 2x - 1 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем два корня: x1 ≈ -1.27 и x2 ≈ 0.27

Теперь проанализируем значение функции на концах отрезка [-2;0]: f(-2) = (-1)^2 (-3) = 3 f(0) = (1)^2 (-1) = -1

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2;0] равно -1 (достигается в точке x ≈ 0.27), а наибольшее значение равно 3 (достигается в точке x = -2).

Наименьшее значение функции f(x) = -1 при x = -2, наибольшее значение функции f(x) = 1 при x = 0.