Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f$x$=$x+1$^2 $x-1$ ; $-2;0$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $f(x$ = $x+1$^2 $x-1$ ) на отрезке $[-2;0]$, следуем стандартной процедуре анализа функции:

1. Определение критических точек:

   • Найдите производную функции $f(x$ ).
   • $f(x$ = $x+1$^2 $x-1$ ).
   • Применим правило произведения для нахождения производной: $f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[(x+1{)}^2$ \cdot $x-1$ + $x+1$^2 \cdot \frac{d}{dx}$x-1$. ]
   • Сначала найдём производную $(x+1$^2): $\frac{d}{dx}[(x+1{)}^2$ = 2$x+1$. ]
   • Для $(x-1$) производная равна 1.
   • Подставляем в формулу: $f^{\prime }(x)=2(x+1)(x-1)+(x+1{)}^2\cdot 1.$
   • Упростим выражение: $f^{\prime }(x)=2(x^2-1)+(x+1{)}^2=2x^2-2+x^2+2x+1.$ $f^{\prime }(x)=3x^2+2x-1.$

2. Нахождение критических точек:

   • Решаем уравнение $f^{\prime }(x$ = 0 ): $3x^2+2x-1=0.$
   • Используем дискриминант для нахождения корней: $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4+12=16.$
   • Корни уравнения: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{6}.$ $x_1=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3},x_2=\frac{-2-4}{6}=-1.$

3. Проверка значений на концах отрезка и в критических точках, попадающих в отрезок:

   • На отрезке $[-2;0]$ проверяем $x=-2$, $x=0$, и $x=-1$ $таккак(x=\frac{1}{3}$ не входит в отрезок).
   • Вычисляем $f(x$ ) в этих точках:
     • $f(-2$ = $(-2$+1)^2$(-2$-1) = 1 \times $-3$ = -3 ).
     • $f(-1$ = $(-1$+1)^2$(-1$-1) = 0 \times $-2$ = 0 ).
     • $f(0$ = $0+1$^2$0-1$ = 1 \times $-1$ = -1 ).

4. Определение наибольшего и наименьшего значений:

   • Наименьшее значение функции на отрезке $[-2;0]$ равно $-3$ при $x=-2$.
   • Наибольшее значение функции равно $0$ при $x=-1$.

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно $-3$, а наибольшее равно $0$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f$x$=$x+1$^2 $x-1$ на отрезке $-2;0$ необходимо проанализировать поведение функции на данном отрезке.

Для начала найдем производную функции f$x$: f'$x$ = 2$x+1$$x-1$ + $x+1$^2 = 2x^2 - 2 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 2x - 1

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x^2 + 2x - 1 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем два корня: x1 ≈ -1.27 и x2 ≈ 0.27

Теперь проанализируем значение функции на концах отрезка $-2;0$: f$-2$ = $-1$^2 $-3$ = 3 f$0$ = $1$^2 $-1$ = -1

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $-2;0$ равно -1 $достигаетсявточкеx\approx 0.27$, а наибольшее значение равно 3 $достигаетсявточкеx=-2$.

Наименьшее значение функции f$x$ = -1 при x = -2, наибольшее значение функции f$x$ = 1 при x = 0.