Найдите наименьшее натуральное число - решение неравенства (x+9)(x-5)2(в квадрате)(x-18)>(или равно)0

Для решения неравенства ((x + 9)(x - 5)^2(x - 18) \geq 0), необходимо определить знаки выражения на различных интервалах, которые определяются нулями каждого из множителей.

1. Найдём нули каждого множителя:

   • (x + 9 = 0) дает (x = -9).
   • ((x - 5)^2 = 0) дает (x = 5).
   • (x - 18 = 0) дает (x = 18).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы: Нули делят числовую прямую на интервалы: ((-\infty, -9)), ((-9, 5)), ((5, 18)), и ((18, \infty)).

3. Определяем знаки на каждом из интервалов:

   • На интервале ((-\infty, -9)):

     • Выбираем точку, например (x = -10).
     • Подставляем в выражение: ((-10 + 9)((-10 - 5)^2)(-10 - 18)).
     • Знаки: ((-)(+)(-)), результат положительный.

   • На интервале ((-9, 5)):

     • Выбираем точку, например (x = 0).
     • Подставляем в выражение: ((0 + 9)((0 - 5)^2)(0 - 18)).
     • Знаки: ((+)(+)(-)), результат отрицательный.

   • На интервале ((5, 18)):

     • Выбираем точку, например (x = 10).
     • Подставляем в выражение: ((10 + 9)((10 - 5)^2)(10 - 18)).
     • Знаки: ((+)(+)(-)), результат отрицательный.

   • На интервале ((18, \infty)):

     • Выбираем точку, например (x = 20).
     • Подставляем в выражение: ((20 + 9)((20 - 5)^2)(20 - 18)).
     • Знаки: ((+)(+)(+)), результат положительный.

4. Проверяем граничные точки:

   • В точке (x = -9), выражение равно нулю.
   • В точке (x = 5), ((x - 5)^2 = 0), следовательно, на границе знак не меняется, и выражение равно нулю.
   • В точке (x = 18), выражение равно нулю.

5. Записываем решение: Неравенство ((x + 9)(x - 5)^2(x - 18) \geq 0) выполняется на интервалах ((-\infty, -9]), ([5, 18]), и ([18, \infty)).

6. Наименьшее натуральное число:

   • Наименьшее натуральное число из указанных интервалов — это (x = 5).

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству, равно (5).

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству, равно 5.

Для решения данного неравенства нужно использовать метод интервалов.

1. Найдем все точки, в которых выражение (x+9)(x-5)^2(x-18) равно нулю.

   • x+9=0 => x=-9
   • x-5=0 => x=5
   • (x-18)=0 => x=18

2. Построим интервалы на числовой прямой, используя найденные точки (-9, 5, 18):

   • (-∞, -9), (-9, 5), (5, 18), (18, +∞)

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство для определения знака выражения.

   • Для x=-10: (-1)(-15)^2(-28) = -6300 < 0
   • Для x=0: (9)(-5)^2(-18) = 4050 > 0
   • Для x=10: (19)(5)^2(-8) = -1900 < 0
   • Для x=20: (29)(15)^2(2) = 13500 > 0

4. Таким образом, неравенство (x+9)(x-5)^2(x-18) > 0 выполняется на интервалах (-9, 5) и (18, +∞). Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, это x=19.