найдите наименьшее значение функции y=18x^2-x^3+5 на отрезке [-5;10]
найдите наименьшее значение функции y=18x^2-x^3+5 на отрезке [-5;10]
Наименьшее значение функции y=18x^2-x^3+5 на отрезке [-5;10] равно -305.
Для нахождения наименьшего значения функции y=18x^2-x^3+5 на отрезке [-5;10] необходимо найти критические точки данной функции внутри данного отрезка и сравнить значения функции в этих точках с концами отрезка.
Найдем производную функции y=18x^2-x^3+5: y' = 36x - 3x^2.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 36x - 3x^2 = 0, 3x(12 - x) = 0, x = 0 или x = 12.
Проверим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка:
Таким образом, наименьшее значение функции y=18x^2-x^3+5 на отрезке [-5;10] равно 5.
Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 18x^2 - x^3 + 5 ) на отрезке ([-5; 10]), нужно рассмотреть как критические точки функции, так и значения на концах отрезка.
Найдем производную функции:
Функция задана как ( y = 18x^2 - x^3 + 5 ). Найдем её производную: [ y' = \frac{d}{dx}(18x^2 - x^3 + 5) = 36x - 3x^2. ]
Найдем критические точки:
Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ): [ 36x - 3x^2 = 0. ] Разложим на множители: [ 3x(12 - x) = 0. ] Отсюда имеем два решения: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 12. ]
Проверяем критические точки и концы отрезка:
Поскольку ( x = 12 ) не принадлежит отрезку ([-5; 10]), учитываем только ( x = 0 ).
Теперь вычислим значения функции в критической точке ( x = 0 ) и на концах отрезка ( x = -5 ) и ( x = 10 ).
Для ( x = -5 ): [ y(-5) = 18(-5)^2 - (-5)^3 + 5 = 18 \times 25 + 125 + 5 = 450 + 125 + 5 = 580. ]
Для ( x = 0 ): [ y(0) = 18 \times 0^2 - 0^3 + 5 = 5. ]
Для ( x = 10 ): [ y(10) = 18 \times 10^2 - 10^3 + 5 = 1800 - 1000 + 5 = 805. ]
Сравниваем полученные значения:
[ y(-5) = 580, \quad y(0) = 5, \quad y(10) = 805. ]
Наименьшее значение функции на отрезке ([-5; 10]) равно ( 5 ) и достигается при ( x = 0 ).
Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно ( 5 ).
