Найдите наименьшее значение функции y= - 4x + 2 tgx + Π + 13 на отрезке [ - п/3 ;  п/3 ]

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = -4x + 2\tan x + \pi + 13 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]) нам нужно исследовать поведение этой функции.

1. Первый шаг — находим производную функции: [ y' = -4 + 2\sec^2 x. ] Производная (\sec^2 x) определена для всех (x), кроме точек, где (\cos x = 0) (то есть (x \neq \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \ldots)), что входит в наш интервал исследования.

2. Второй шаг — ищем критические точки функции, решая уравнение (y' = 0): [ -4 + 2\sec^2 x = 0 ] [ 2\sec^2 x = 4 ] [ \sec^2 x = 2 ] [ \cos^2 x = \frac{1}{2} ] [ \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Значения (x), при которых это выполняется и которые входят в наш интервал, это (x = \pm \frac{\pi}{4}) (поскольку (\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2})).

3. Третий шаг — проверяем значения функции в критических точках и на границах интервала: [ y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 4\frac{\pi}{3} + 2\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi + 13 = \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3} + \pi + 13, ] [ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4\frac{\pi}{3} + 2\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + \pi + 13 = -\frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} + \pi + 13, ] [ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\frac{\pi}{4} + 2\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi + 13 = \pi + (-2) + \pi + 13 = 2\pi + 11, ] [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -4\frac{\pi}{4} + 2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi + 13 = -\pi + 2 + \pi + 13 = 15. ]

4. Четвёртый шаг — сравниваем полученные значения: [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 15, ] [ y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3} + \pi + 13, ] [ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} + \pi + 13. ]

Мы видим, что наименьшее значение функции достигается в точке ( x = \frac{\pi}{4} ) и равно 15. Это и есть наименьшее значение функции ( y = -4x + 2\tan x + \pi + 13 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]).

Для нахождения наименьшего значения функции y = -4x + 2tg(x) + π + 13 на отрезке [-π/3; π/3] необходимо найти критические точки функции внутри данного интервала и на его концах.

Сначала найдем производную функции y: y' = -4 + 2sec^2(x)

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: -4 + 2sec^2(x) = 0 2sec^2(x) = 4 sec^2(x) = 2 sec(x) = √2 x = π/4

Таким образом, критическая точка находится внутри отрезка [-π/3; π/3]. Теперь найдем значения функции в концах отрезка: y(-π/3) = -4(-π/3) + 2tg(-π/3) + π + 13 y(-π/3) = 4/3 - 2√3 + π + 13 ≈ 12.419 y(π/3) = -4(π/3) + 2tg(π/3) + π + 13 y(π/3) = -4/3 + 2√3 + π + 13 ≈ 20.757

Таким образом, минимальное значение функции y на отрезке [-π/3; π/3] равно примерно 12.419.

Для нахождения наименьшего значения функции y=-4x+2tgx+π+13 на отрезке [-π/3; π/3] необходимо найти минимум функции на данном интервале.