Найдите наименьшее значение функции y= - 4x + 2 tgx + Π + 13 на отрезке $-п/3;п/3$

Для нахождения наименьшего значения функции $y=-4x+2\tan x+\pi +13$ на отрезке $[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}]$ нам нужно исследовать поведение этой функции.

1. Первый шаг — находим производную функции: $y^{\prime }=-4+2{\sec }^{2}x.$ Производная ${\sec }^{2}x$ определена для всех $x$, кроме точек, где $\cos x=0$ $тоесть(x\ne \pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$), что входит в наш интервал исследования.

2. Второй шаг — ищем критические точки функции, решая уравнение $y^{\prime }=0$: $-4+2{\sec }^{2}x=0$ $2{\sec }^{2}x=4$ ${\sec }^{2}x=2$ ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$ $\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Значения $x$, при которых это выполняется и которые входят в наш интервал, это $x=\pm \frac{\pi }{4}$ $поскольку(\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$).

3. Третий шаг — проверяем значения функции в критических точках и на границах интервала: $y(-\frac{\pi }{3})=4\frac{\pi }{3}+2\tan (-\frac{\pi }{3})+\pi +13=\frac{4\pi }{3}-2\sqrt{3}+\pi +13,$ $y\left(\frac{\pi }{3}\right)=-4\frac{\pi }{3}+2\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)+\pi +13=-\frac{4\pi }{3}+2\sqrt{3}+\pi +13,$ $y(-\frac{\pi }{4})=4\frac{\pi }{4}+2\tan (-\frac{\pi }{4})+\pi +13=\pi +(-2)+\pi +13=2\pi +11,$ $y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-4\frac{\pi }{4}+2\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)+\pi +13=-\pi +2+\pi +13=15.$

4. Четвёртый шаг — сравниваем полученные значения: $y\left(\frac{\pi }{4}\right)=15,$ $y(-\frac{\pi }{3})=\frac{4\pi }{3}-2\sqrt{3}+\pi +13,$ $y\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{4\pi }{3}+2\sqrt{3}+\pi +13.$

Мы видим, что наименьшее значение функции достигается в точке $x=\frac{\pi }{4}$ и равно 15. Это и есть наименьшее значение функции $y=-4x+2\tan x+\pi +13$ на отрезке $[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}]$.

Для нахождения наименьшего значения функции y = -4x + 2tg$x$ + π + 13 на отрезке $-\pi /3;\pi /3$ необходимо найти критические точки функции внутри данного интервала и на его концах.

Сначала найдем производную функции y: y' = -4 + 2sec^2$x$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: -4 + 2sec^2$x$ = 0 2sec^2$x$ = 4 sec^2$x$ = 2 sec$x$ = √2 x = π/4

Таким образом, критическая точка находится внутри отрезка $-\pi /3;\pi /3$. Теперь найдем значения функции в концах отрезка: y$-\pi /3$ = -4$-\pi /3$ + 2tg$-\pi /3$ + π + 13 y$-\pi /3$ = 4/3 - 2√3 + π + 13 ≈ 12.419 y$\pi /3$ = -4$\pi /3$ + 2tg$\pi /3$ + π + 13 y$\pi /3$ = -4/3 + 2√3 + π + 13 ≈ 20.757

Таким образом, минимальное значение функции y на отрезке $-\pi /3;\pi /3$ равно примерно 12.419.

Для нахождения наименьшего значения функции y=-4x+2tgx+π+13 на отрезке $-\pi /3;\pi /3$ необходимо найти минимум функции на данном интервале.