Найдите наименьшее значение функции y=6x-In $x+6$^6 на отрезке $-5,5;0$

Для нахождения наименьшего значения функции y=6x-ln$x+6$^6 на отрезке $-5;0$ необходимо найти критические точки и проверить их на экстремум.

1. Найдем производную функции: y' = 6 - \frac{6}{x+6} = \frac{6x}{x+6}

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 6x = 0 x = 0

3. Проверим точку на экстремум: Подставим x = 0 в исходную функцию: y$0$ = 0 - ln$6$^6 = -ln$6$^6

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $-5;0$ равно -ln$6$^6.

Наименьшее значение функции y=6x-ln$x+6$^6 на отрезке $-5,0$ равно -30.

Для нахождения наименьшего значения функции $y=6x-\ln (x+6$^6 ) на заданном отрезке $[-5.5,0]$, начнем с упрощения функции:

$y=6x-\ln (x+6{)}^6=6x-6\ln (x+6)$

Теперь дифференцируем функцию, чтобы найти её критические точки, которые могут быть точками максимума или минимума.

$y^{\prime }=6-\frac{6}{x+6}$ $y^{\prime }=\frac{6(x+6)-6}{x+6}$ $y^{\prime }=\frac{6x}{x+6}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $\frac{6x}{x+6}=0$ $6x=0$ $x=0$

Теперь проверим, возрастает или убывает функция до и после точки $x=0$. Поскольку знаменатель $x+6$ положителен на всем интервале $[-5.5,0]$, знак производной определяется числителем $6x$.

• Когда $x<0$, производная отрицательна, значит функция убывает.
• Когда $x>0$, производная положительна, значит функция возрастает.

Так как $x=0$ — крайняя правая точка интервала, и функция убывает до этой точки, значит, наименьшее значение функции достигается на правом конце отрезка $[-5.5,0]$, то есть в точке $x=0$.

Теперь вычислим значение функции в этой точке: $y(0)=6\cdot 0-6\ln (0+6)=-6\ln 6$

Также вычислим значение функции на левом конце интервала: $y(-5.5)=6\cdot (-5.5)-6\ln (-5.5+6)$ $y(-5.5)=-33-6\ln (0.5)$ $y(-5.5)=-33-6(-0.693)$ $y(-5.5)=-33+4.158$ $y(-5.5)\approx -28.842$

Сравнивая $y(0$ \approx -6 \ln 6 \approx -10.75 ) и $y(-5.5$ \approx -28.842 ), наименьшее значение функции на интервале $[-5.5,0]$ равно примерно -28.842 и достигается в точке $x=-5.5$.