Найдите наименьшее значение функции y=6x-In (x+6)^6 на отрезке [-5,5;0]

Для нахождения наименьшего значения функции y=6x-ln(x+6)^6 на отрезке [-5;0] необходимо найти критические точки и проверить их на экстремум.

1. Найдем производную функции: y' = 6 - \frac{6}{x+6} = \frac{6x}{x+6}

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 6x = 0 x = 0

3. Проверим точку на экстремум: Подставим x = 0 в исходную функцию: y(0) = 0 - ln(6)^6 = -ln(6)^6

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-5;0] равно -ln(6)^6.

Наименьшее значение функции y=6x-ln(x+6)^6 на отрезке [-5,0] равно -30.

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = 6x - \ln(x+6)^6 ) на заданном отрезке ([-5.5, 0]), начнем с упрощения функции:

[ y = 6x - \ln(x+6)^6 = 6x - 6\ln(x+6) ]

Теперь дифференцируем функцию, чтобы найти её критические точки, которые могут быть точками максимума или минимума.

[ y' = 6 - \frac{6}{x+6} ] [ y' = \frac{6(x+6) - 6}{x+6} ] [ y' = \frac{6x}{x+6} ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: [ \frac{6x}{x+6} = 0 ] [ 6x = 0 ] [ x = 0 ]

Теперь проверим, возрастает или убывает функция до и после точки (x = 0). Поскольку знаменатель (x+6) положителен на всем интервале ([-5.5, 0]), знак производной определяется числителем (6x).

• Когда (x < 0), производная отрицательна, значит функция убывает.
• Когда (x > 0), производная положительна, значит функция возрастает.

Так как (x = 0) — крайняя правая точка интервала, и функция убывает до этой точки, значит, наименьшее значение функции достигается на правом конце отрезка ([-5.5, 0]), то есть в точке (x = 0).

Теперь вычислим значение функции в этой точке: [ y(0) = 6 \cdot 0 - 6\ln(0+6) = -6\ln 6 ]

Также вычислим значение функции на левом конце интервала: [ y(-5.5) = 6 \cdot (-5.5) - 6\ln(-5.5+6) ] [ y(-5.5) = -33 - 6\ln(0.5) ] [ y(-5.5) = -33 - 6(-0.693) ] [ y(-5.5) = -33 + 4.158 ] [ y(-5.5) ≈ -28.842 ]

Сравнивая ( y(0) \approx -6 \ln 6 \approx -10.75 ) и ( y(-5.5) \approx -28.842 ), наименьшее значение функции на интервале ([-5.5, 0]) равно примерно -28.842 и достигается в точке (x = -5.5).