найдите наименьшее значение функции y=(x-16)e^x-15 на отрезке [14;16]
найдите наименьшее значение функции y=(x-16)e^x-15 на отрезке [14;16]
Для того чтобы найти наименьшее значение функции y=(x-16)e^x-15 на отрезке [14;16], нужно сначала найти производную этой функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти точки экстремума. Затем проверить значения функции в найденных точках и на концах отрезка, чтобы определить наименьшее значение.
Найдем производную функции y=(x-16)e^x-15: y' = (x-16)e^x + e^x
Приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: (x-16)e^x + e^x = 0 e^x(x - 16 + 1) = 0 e^x(x - 15) = 0
Отсюда получаем две возможные точки экстремума: x = 15 и x = 16.
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [14;16] равно -44.27, которое достигается при x = 14.
Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = (x-16)e^x - 15 ) на отрезке ([14;16]), нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и оценку значений функции на границах отрезка.
Для начала вычислим производную функции ( y = (x-16)e^x - 15 ). Используем правило произведения:
[ y' = \frac{d}{dx}[(x-16)e^x] = (x-16)\frac{d}{dx}[e^x] + e^x\frac{d}{dx}[x-16] ]
[ y' = (x-16)e^x + e^x = (x-15)e^x ]
Критические точки находятся, когда производная равна нулю:
[ (x-15)e^x = 0 ]
Поскольку ( e^x \neq 0 ) для всех ( x ), уравнение ( (x-15) = 0 ) дает:
[ x = 15 ]
Теперь вычислим значение функции ( y ) в критической точке и на границах отрезка:
[ y(14) = (14-16)e^{14} - 15 = -2e^{14} - 15 ]
[ y(15) = (15-16)e^{15} - 15 = -e^{15} - 15 ]
[ y(16) = (16-16)e^{16} - 15 = -15 ]
Теперь сравним значения функции в этих точках:
Поскольку ( e^{15} > e^{14} ), видно, что ( -2e^{14} < -e^{15} ). Таким образом, значение ( y(14) ) меньше, чем ( y(15) ), но больше, чем ( y(16) ).
Наименьшее значение функции на отрезке ([14;16]) равно ( y(15) = -e^{15} - 15 ).
