Найдите наименьшее значение функций: 1) y=3x²-2x³+1 на отрезке [-4;0] 2) y=4x²-4x-x³ на отрезке [1;3]...

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо:

1. Найти производную функции, чтобы определить критические точки внутри отрезка.
2. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
3. Сравнить значения функции среди найденных значений и выбрать наименьшее.

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. ( y = 3x^2 - 2x^3 + 1 ) на отрезке ([-4; 0])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 6x - 6x^2 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 6x - 6x^2 = 0 ] [ 6x(1 - x) = 0 ] [ x = 0 \text{ или } x = 1 ]

Но ( x = 1 ) не входит в отрезок ([-4; 0]), поэтому рассматриваем только ( x = 0 ).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(-4) = 3(-4)^2 - 2(-4)^3 + 1 = 48 + 128 + 1 = 177 ] [ y(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 + 1 = 1 ]

Наименьшее значение: ( y(0) = 1 )

2. ( y = 4x^2 - 4x - x^3 ) на отрезке ([1; 3])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 8x - 4 - 3x^2 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 8x + 4 = 0 ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} = 2 \text{ или } \frac{2}{3} ]

Только ( x = 2 ) входит в отрезок ([1; 3]).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(1) = 4(1)^2 - 4(1) - (1)^3 = 4 - 4 - 1 = -1 ] [ y(2) = 4(2)^2 - 4(2) - (2)^3 = 16 - 8 - 8 = 0 ] [ y(3) = 4(3)^2 - 4(3) - (3)^3 = 36 - 12 - 27 = -3 ]

Наименьшее значение: ( y(3) = -3 )

3. ( y = x^3 - 2x^2 + x + 5 ) на отрезке ([1; 4])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 3x^2 - 4x + 1 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 4x + 1 = 0 ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} = 1 \text{ или } \frac{1}{3} ]

Только ( x = 1 ) входит в отрезок ([1; 4]).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 5 = 1 - 2 + 1 + 5 = 5 ] [ y(4) = 4^3 - 2(4)^2 + 4 + 5 = 64 - 32 + 4 + 5 = 41 ]

Наименьшее значение: ( y(1) = 5 )

4. ( y = x^3 + x^2 - 8x - 8 ) на отрезке ([-3; 0])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 3x^2 + 2x - 8 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 + 2x - 8 = 0 ]

[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6} = \frac{8}{6} \text{ или } \frac{-12}{6} = \frac{4}{3} \text{ или } -2 ]

Только ( x = -2 ) входит в отрезок ([-3; 0]).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 8(-3) - 8 = -27 + 9 + 24 - 8 = -2 ] [ y(0) = 0^3 + 0^2 - 8(0) - 8 = -8 ] [ y(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 8 = -8 + 4 + 16 - 8 = 4 ]

Наименьшее значение: ( y(0) = -8 )

5. ( y = x^3 - 4x^2 - 3x - 11 ) на отрезке ([0; 6])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 3x^2 - 8x - 3 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 8x - 3 = 0 ]

[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6} = 3 \text{ или } -\frac{1}{3} ]

Только ( x = 3 ) входит в отрезок ([0; 6]).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(0) = 0^3 - 4(0)^2 - 3(0) - 11 = -11 ] [ y(6) = 6^3 - 4(6)^2 - 3(6) - 11 = 216 - 144 - 18 - 11 = 43 ] [ y(3) = 3^3 - 4(3)^2 - 3(3) - 11 = 27 - 36 - 9 - 11 = -29 ]

Наименьшее значение: ( y(3) = -29 )

6. ( y = -(x+6)(x^2 - 36) ) на отрезке ([-4; 3])

Шаг 1: Упростить функцию: [ y = -(x+6)(x^2 - 36) = -(x^3 - 36x + 6x^2 - 216) = -x^3 - 6x^2 + 36x + 216 ]

Шаг 2: Найти производную: [ y' = -3x^2 - 12x + 36 ]

Шаг 3: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ -3x^2 - 12x + 36 = 0 ] [ x^2 + 4x - 12 = 0 ] [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} = 2 \text{ или } -6 ]

Только ( x = 2 ) входит в отрезок ([-4; 3]).

Шаг 4: Значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(-4) = -(-4+6)((-4)^2 - 36) = -2(16 - 36) = 40 ] [ y(3) = -(3+6)(3^2 - 36) = -9(-27) = 243 ] [ y(2) = -(2+6)(2^2 - 36) = -8(4 - 36) = -8(-32) = 256 ]

Наименьшее значение: ( y(-4) = 40 )

7. ( y = (x-3)(x+2)^2 ) на отрезке ([-2; 2])

Шаг 1: Упростить функцию: [ y = (x-3)(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x - 3x^2 - 12x - 12 = x^3 + x^2 - 8x - 12 ]

Шаг 2: Найти производную: [ y' = 3x^2 + 2x - 8 ]

Шаг 3: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 + 2x - 8 = 0 ] [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6} = 4/3 \text{ или } -2 ]

Обе точки входят в отрезок ([-2; 2]).

Шаг 4: Значения функции на концах отрезка и в критических точках: [ y(-2) = (-2-3)(-2+2)^2 = -5(0) = 0 ] [ y(2) = (2-3)(2+2)^2 = -1(16) = -16 ] [ y(4/3) = (4/3-3)(4/3+2)^2 = (-5/3)(22/3)^2 = -(-1)(4) = 4 ]

Наименьшее значение: ( y(2) = -16 )

8. ( y = 2 \cdot \frac{23}{27} + (x-2)^2 + (x-2)^3 ) на отрезке ([1; 2])

Шаг 1: Найти производную: [ y' = 2(x-2) + 3(x-2)^2 ]

Шаг 2: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 2(x-2) + 3(x-2)^2 = 0 ] [ (x-2)(2 + 3(x-2)) = 0 ] [ x = 2 \text{ или } x = 2 - 2/3 = 4/3 ]

Обе точки входят в отрезок ([1; 2]).

Шаг 3: Значения функции на концах отрезка и в критических точках: [ y(1) = 2 \cdot \frac{23}{27} + (1-2)^2 + (1-2)^3 = 2 \cdot \frac{23}{27} + 1 + (-1) = \frac{46}{27} ] [ y(2) = 2 \cdot \frac{23}{27} + (2-2)^2 + (2-2)^3 = 2 \cdot \frac{23}{27} = \frac{46}{27} ] [ y(4/3) = 2 \cdot \frac{23}{27} + (4/3-2)^2 + (4/3-2)^3 = 2 \cdot \frac{23}{27} + \left( -\frac{2}{3} \right)^2 + \left( -\frac{2}{3} \right)^3 = \frac{46}{27} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{46}{27} + \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{50}{27} ]

Наименьшее значение: ( y(1) = \frac{46}{27} )

9. ( y = (1-x)(x-4)^2 ) на отрезке ([0; 3])

Шаг 1: Упростить функцию: [ y = (1-x)(x^2 - 8x + 16) = x^3 - 8x^2 + 16x - x^2 + 8x - 16 = -x^3 + 7x^2 - 24x + 16 ]

Шаг 2: Найти производную: [ y' = -3x^2 + 14x - 24 ]

Шаг 3: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ -3x^2 + 14x - 24 = 0 ] [ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 288}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm \sqrt{484}}{6} = \frac{-14 \pm 22}{6} = 4 \text{ или } -2/3 ]

Только ( x = 4 ) входит в отрезок ([0; 3]).

Шаг 4: Значения функции на концах отрезка и в критических точках: [ y(0) = (1-0)(0-4)^2 = 16 ] [ y(3) = (1-3)(3-4)^2 = -2 ] [ y(4) = (1-4)(4-4)^2 = 0 ]

Наименьшее значение: ( y(3) = -2 )

10. ( y = (x-10)(x^2 - 11x + 10) ) на отрезке ([-1; 7])

Шаг 1: Упростить функцию: [ y = (x-10)(x^2 - 11x + 10) = x^3 - 11x^2 + 10x - 10x^2 + 110x - 100 = x^3 - 21x^2 + 120x - 100 ]

Шаг 2: Найти производную: [ y' = 3x^2 - 42x + 120 ]

Шаг 3: Решить уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 42x + 120 = 0 ] [ x = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 1440}}{6} = \frac{42 \pm \sqrt{324}}{6} = \frac{42 \pm 18}{6} = 10 \text{ или } 4 ]

Обе точки входят в отрезок ([-1; 7]).

Шаг 4: Значения функции на концах отрезка и в критических точках: [ y(-1) = (-1-10)((-1)^2 - 11(-1) + 10) = -11(1 + 11 + 10) = -11(22) = -242 ] [ y(7) = (7-10)(7^2 - 11(7) + 10) = -3(49 - 77 + 10) = -3(-18) = 54 ] [ y(4) = (4-10)(4^2 - 11(4) + 10) = -6(16 - 44 + 10) = -6(-18) = 108 ]

Наименьшее значение: ( y(-1) = -242 )

Таким образом, наименьшие значения функций на указанных отрезках следующие:

1. ( y = 1 )
2. ( y = -3 )
3. ( y = 5 )
4. ( y = -8 )
5. ( y = -29 )
6. ( y = 40 )
7. ( y = -16 )
8. ( y = \frac{46}{27} )
9. ( y = -2 )
10. ( y = -242 )

1) Наименьшее значение функции y=3x²-2x³+1 на отрезке [-4;0] равно 17. 2) Наименьшее значение функции y=4x²-4x-x³ на отрезке [1;3] равно -5. 3) Наименьшее значение функции y=x³-2x²+x+5 на отрезке [1;4] равно 4. 4) Наименьшее значение функции y=x³+x²-8x-8 на отрезке [-3;0] равно -23. 5) Наименьшее значение функции y=x³-4x²-3x-11 на отрезке [0;6] равно -19. 6) Наименьшее значение функции y=-(x+6)(x²-36) на отрезке [-4;3] равно -144. 7) Наименьшее значение функции y=(x-3)(x+2)² на отрезке [-2;2] равно -4. 8) Наименьшее значение функции y=2*23/27+(x-2)²+(x-2)³ на отрезке [1;2] равно 2,333. 9) Наименьшее значение функции y=(1-x)(x-4)² на отрезке [0;3] равно -4. 10) Наименьшее значение функции y=(x-10)(x²-11x+10) на отрезке [-1;7] равно -60.