Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро...

Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, используем формулу объема пирамиды:

$V=\frac{1}{3}{S}_{осн}h,$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. Давайте решим задачу поэтапно.

1. Найдём площадь основания $(S_{осн}$).

Основание пирамиды — это квадрат со стороной $a=4$. Площадь квадрата определяется по формуле:

$S_{осн}=a^2.$

Подставляем значение $a=4$:

$S_{осн}=4^2=16.$

2. Найдём высоту пирамиды $(h$).

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на центр основания. Центр квадрата-основания — точка пересечения диагоналей квадрата.

2.1. Найдём диагональ квадрата.

Диагональ квадрата длиной $d$ вычисляется по формуле:

$d=a\sqrt{2}.$

Подставляем $a=4$:

$d=4\sqrt{2}.$

Таким образом, диагональ квадрата равна $4\sqrt{2}$, а центр квадрата делит диагональ пополам, то есть расстояние от центра до любой вершины квадрата равно:

$r=\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$

Это расстояние $r=2\sqrt{2}$ — основание прямоугольного треугольника, в котором нужно найти высоту.

2.2. Используем теорему Пифагора.

В правильной пирамиде боковое ребро $(l$) образует треугольник вместе с высотой пирамиды $(h$) и расстоянием от центра основания до вершины квадрата $(r$).

По теореме Пифагора:

$l^2=h^2+r^2,$

где $l=\sqrt{17}$ и $r=2\sqrt{2}$. Подставляем значения:

$(\sqrt{17}{)}^2=h^2+(2\sqrt{2}{)}^2.$

Вычислим квадраты:

$17=h^2+8.$

Выразим $h^2$:

$h^2=17-8=9.$

Найдём $h$:

$h=\sqrt{9}=3.$

Таким образом, высота пирамиды равна $h=3$.

3. Найдём объём пирамиды.

Теперь, когда известны $S_{осн}=16$ и $h=3$, используем формулу объёма пирамиды:

$V=\frac{1}{3}{S}_{осн}h.$

Подставляем значения:

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3.$

Выполним вычисления:

$V=\frac{48}{3}=16.$

Ответ:

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен $16$ кубических единиц.

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно сначала определить площадь основания и высоту пирамиды.

1. Находим площадь основания: Основание пирамиды является квадратом со стороной $a=4$. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

   $S=a^2$

   Подставим значение стороны:

   $S=4^2=16$

2. Находим высоту пирамиды: Обозначим высоту пирамиды как $h$. В правильной четырёхугольной пирамиде высота проходит от вершины пирамиды перпендикулярно к основанию и делит его на две равные части. Поскольку основание квадратное, расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата.

   Сначала найдем диагональ квадрата:

   $d=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

   Центр квадрата делит диагональ пополам, поэтому расстояние от центра до вершины будет равно:

   $r=\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

   Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты $h$. В треугольнике, образованном высотой, радиусом $r$ и боковым ребром $\sqrt{17}$, мы имеем:

   $h^2+r^2=(\sqrt{17}{)}^2$

   Подставим значение радиуса:

   $h^2+(2\sqrt{2}{)}^2=17$

   $h^2+8=17$

   $h^2=17-8=9$

   $h=3$

3. Находим объём пирамиды: Объём $V$ правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

   $V=\frac{1}{3}Sh$

   Подставим значения площади основания и высоты:

   $V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3$

   $V=\frac{48}{3}=16$

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды с заданными параметрами равен 16 кубических единиц.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды можно найти по формуле:

$V=\frac{1}{3}{S}_{b}h,$

где $S_b$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

1. Площадь основания $квадратсостороной4$:

$S_b=4^2=16.$

1. Высоту $h$ можно найти, используя теорему Пифагора. Для этого находим высоту треугольника, образованного боковым ребром, высотой и половиной стороны основания:

$a=2(\text{половина стороны основания}),$ $l=\sqrt{17}(\text{длина бокового ребра}).$

По теореме Пифагора:

$h=\sqrt{l^2-a^2}=\sqrt{(\sqrt{17}{)}^2-2^2}=\sqrt{17-4}=\sqrt{13}.$

1. Теперь можем подставить значения в формулу для объёма:

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot \sqrt{13}=\frac{16\sqrt{13}}{3}.$

Таким образом, объём пирамиды равен $\frac{16\sqrt{13}}{3}$.