Найдите область определения функции f(x)=корень 36-x^{2}/x-3

Для функции f(x) = √(36 - x^2) / (x - 3) областью определения будет множество всех x, кроме x = 3 и x, для которых 36 - x^2 < 0 или x - 3 = 0.

Для нахождения области определения данной функции f(x) = √(36 - x^2) / (x - 3) необходимо учитывать два условия:

1) Знаменатель функции не может быть равен нулю, так как в этом случае функция будет неопределена. Следовательно, x - 3 ≠ 0, что приводит к x ≠ 3.

2) Подкоренное выражение 36 - x^2 должно быть неотрицательным, иначе корень из отрицательного числа будет комплексным. Таким образом, 36 - x^2 ≥ 0, откуда x^2 ≤ 36, что приводит к |x| ≤ 6.

Таким образом, областью определения функции f(x) = √(36 - x^2) / (x - 3) будет множество всех действительных чисел x, таких что x ≠ 3 и |x| ≤ 6.

Чтобы найти область определения функции ( f(x) = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x - 3}} ), необходимо учесть несколько факторов, связанных с определением и свойствами корня и дроби.

1. Дробь и её знаменатель: Дробь (\frac{36 - x^2}{x - 3}) определена везде, где её знаменатель не равен нулю. Следовательно, знаменатель (x - 3) не должен быть равен нулю. Это означает, что ( x \neq 3 ).

2. Подкоренное выражение: Так как у нас квадратный корень, подкоренное выражение (\frac{36 - x^2}{x - 3}) должно быть неотрицательным для того, чтобы функция была определена в вещественных числах. То есть, (\frac{36 - x^2}{x - 3} \geq 0).

Теперь рассмотрим условие (\frac{36 - x^2}{x - 3} \geq 0).

1. Числитель: (36 - x^2) — это выражение, представляющее собой разность квадратов, которое можно разложить как ((6 - x)(6 + x)). Это выражение равно нулю при (x = 6) и (x = -6).

2. Знаки числителя и знаменателя:

   • Для числителя ((6 - x)(6 + x)), определим интервалы изменения знаков:

     • (x < -6): оба множителя ((6 - x)) и ((6 + x)) отрицательны, произведение положительно.
     • (-6 < x < 6): ((6 - x)) положителен, ((6 + x)) положителен, произведение положительно.
     • (x > 6): оба множителя ((6 - x)) и ((6 + x)) отрицательны, произведение положительно.

   • Для знаменателя (x - 3):

     • (x < 3): отрицателен.
     • (x > 3): положителен.

3. Знаки дроби и область определения:

   • На промежутке (x < -6), дробь положительна.
   • На промежутке (-6 < x < 3), дробь отрицательна.
   • На промежутке (3 < x < 6), дробь положительна.
   • На промежутке (x > 6), дробь положительна.

Необходимо выбрать те интервалы, где дробь неотрицательна, учитывая также точку разрыва в (x = 3).

Итоговая область определения:

• (x \in (-\infty, -6] \cup (3, 6]).

Таким образом, область определения функции ( f(x) = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x - 3}} ) — это объединение интервалов ((-\infty, -6]) и ((3, 6]).