Найдите область определения функции f(x)=корень (log0,5(3-x)-log0,5(x+4))

Для того чтобы найти область определения функции f(x) = √(log0,5(3-x) - log0,5(x+4)), нужно учитывать два момента: корень извлекается только из неотрицательных значений, и логарифмы имеют значения только для положительных аргументов.

Таким образом, область определения функции f(x) будет состоять из таких значений x, при которых аргументы логарифмов и самого корня будут положительными.

1. Аргумент логарифма log0,5(3-x) должен быть больше нуля: 3 - x > 0 => x < 3.
2. Аргумент логарифма log0,5(x+4) должен быть больше нуля: x + 4 > 0 => x > -4.

Таким образом, область определения функции f(x) будет составлять интервал (-4, 3).

Чтобы определить область определения функции ( f(x) = \sqrt{\log{0.5}(3-x) - \log{0.5}(x+4)} ), нужно рассмотреть условия, при которых выражение под корнем определено и неотрицательно.

1. Определение логарифмов:

   Логарифм (\log_{0.5}(y)) определён, когда ( y > 0 ).

   • Для (\log_{0.5}(3-x)), необходимо, чтобы ( 3-x > 0 ). Это неравенство решается как: [ 3 - x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 3 ]

   • Для (\log_{0.5}(x+4)), необходимо, чтобы ( x+4 > 0 ). Это неравенство решается как: [ x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4 ]

2. Разность логарифмов:

   Выражение под корнем (\log{0.5}(3-x) - \log{0.5}(x+4)) является разностью логарифмов, которая может быть записана как логарифм частного: [ \log_{0.5}\left(\frac{3-x}{x+4}\right) ]

   Для того чтобы (\log_{0.5}\left(\frac{3-x}{x+4}\right)) была определена и неотрицательна (так как она под корнем), необходимо: [ \frac{3-x}{x+4} \leq 1 ]

   Решим неравенство: [ \frac{3-x}{x+4} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad 3-x \leq x+4 ] [ 3-x \leq x+4 \quad \Rightarrow \quad 3 - x \leq x + 4 ] [ 3 - 4 \leq 2x \quad \Rightarrow \quad -1 \leq 2x ] [ -\frac{1}{2} \leq x ]

3. Объединение условий:

   Объединяя все найденные условия, получаем: [ -\frac{1}{2} \leq x < 3 ]

Таким образом, область определения функции ( f(x) ) — это интервал ( \left[-\frac{1}{2}, 3\right) ).