Найдите область определения функции: у= √5х-2х^2

Для того чтобы найти область определения функции у= √(5х-2х^2), необходимо определить значения переменной x, при которых функция определена.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным числом или нулем, поэтому 5х-2х^2 ≥ 0.

Далее можно решить неравенство 5х-2х^2 ≥ 0. Для этого выразим его в виде квадратного трехчлена: -2х^2 + 5х ≥ 0. Факторизуем его: -х(2х-5) ≥ 0. Получаем два корня: х = 0 и х = 5/2.

Таким образом, областью определения функции у= √(5х-2х^2) является множество всех действительных чисел от 0 до 5/2 включительно.

Для нахождения области определения функции ( y = \sqrt{5x - 2x^2} ), необходимо рассмотреть подкоренное выражение ( 5x - 2x^2 ). Поскольку квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, нужно установить, при каких ( x ) выражение ( 5x - 2x^2 ) неотрицательно.

1. Первым шагом является решение неравенства: [ 5x - 2x^2 \geq 0 ]

2. Преобразуем это неравенство: [ -2x^2 + 5x \geq 0 ] [ x(-2x + 5) \geq 0 ]

3. Разложим на множители: [ x(5 - 2x) \geq 0 ]

4. Найдем нули этого выражения: [ x = 0 \quad \text{или} \quad 5 - 2x = 0 ] [ 5 = 2x ] [ x = \frac{5}{2} ]

5. Теперь у нас есть два корня, ( x = 0 ) и ( x = \frac{5}{2} ), которые разбивают числовую прямую на три интервала: ( (-\infty, 0) ), ( (0, \frac{5}{2}) ), и ( (\frac{5}{2}, +\infty) ).

6. Используем метод интервалов для определения знаков выражения на этих интервалах:

   • Когда ( x < 0 ), оба множителя ( x ) и ( (5 - 2x) ) принимают положительные значения, что дает нам отрицательный результат (поскольку один из множителей отрицателен).
   • Когда ( 0 \leq x \leq \frac{5}{2} ), оба множителя неотрицательны, что дает неотрицательный результат.
   • Когда ( x > \frac{5}{2} ), множитель ( (5 - 2x) ) становится отрицательным, в то время как ( x ) остается положительным, что вновь дает отрицательный результат.

Следовательно, выражение ( 5x - 2x^2 ) неотрицательно на интервале ( [0, \frac{5}{2}] ).

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt{5x - 2x^2} ) — это интервал ( [0, \frac{5}{2}] ).