Найдите область определения функции: y=(корень 6 степени из x2-x-2)-(корень 3 степени из x-7/корень...

Для функции y = √6√(x^2 - x - 2) - ∛(x - 7)/√4(-x - 1) областью определения будет множество всех x, для которых выражения под корнями неотрицательны и знаменатель не равен нулю.

Область определения функции — это множество всех значений переменной x, при которых функция имеет смысл (то есть результат является действительным числом).

Функция, данная в задаче: [ y = \sqrt[6]{x^2 - x - 2} - \frac{\sqrt[3]{x-7}}{\sqrt[4]{-x-1}} ]

Рассмотрим каждый из корней отдельно для определения условий, при которых подкоренные выражения определены и неотрицательны (для четных степеней корня).

1. Корень шестой степени из (x^2 - x - 2):

   • Подкоренное выражение (x^2 - x - 2) должно быть неотрицательным, т.е. [ x^2 - x - 2 \geq 0 ]
   • Решим квадратное неравенство: [ x^2 - x - 2 = 0 ] [ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ] [ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -1 ]
   • Интервалы, где выражение неотрицательно: [ x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty) ]

2. Корень третьей степени из (x-7):

   • Корень нечетной степени определен для всех действительных чисел, поэтому (x-7) допускает все значения (x).

3. Корень четвертой степени из (-x-1):

   • Подкоренное выражение (-x-1) должно быть неотрицательным, т.е. [ -x-1 \geq 0 ] [ x \leq -1 ]

Теперь найдем пересечение всех этих условий:

• (x \in (-\infty, -1]) из третьего условия.
• (x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)) из первого условия.

Пересечение: [ x \in (-\infty, -1] ]

Это и есть область определения исходной функции.

Для того чтобы найти область определения данной функции, нужно учитывать условия, при которых корень извлекается из числа.

1. Корень n-ой степени извлекается из числа только в случае, если это число неотрицательно.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Рассмотрим каждую часть функции отдельно:

1. Для корня шестой степени из x2 - x - 2 должно быть выполнено условие x2 - x - 2 ≥ 0. Решим неравенство: x2 - x - 2 ≥ 0 (x - 2)(x + 1) ≥ 0 Отсюда получаем, что x ≤ -1 или x ≥ 2.

2. Для корня третьей степени из x - 7 должно быть выполнено условие x - 7 ≥ 0 => x ≥ 7. Для корня четвертой степени из -x - 1 должно быть выполнено условие -x - 1 ≥ 0 => -x ≥ 1 => x ≤ -1.

Итак, область определения функции y = (корень 6 степени из x2 - x - 2) - (корень 3 степени из x - 7 / корень 4 степени из -x - 1) - это x ≤ -1 или x ≥ 2.