Найдите область определения функции y=корень четвертой степени из(2-x)(x^2-9)

Для того чтобы найти область определения функции y=√(2-x)(x^2-9), необходимо учесть два условия: корень из неотрицательного числа и деление на ноль.

1. Корень из неотрицательного числа: выражение под знаком корня должно быть больше или равно нулю. Поэтому (2-x)(x^2-9) должно быть больше или равно 0.

2. Деление на ноль: выражение под знаком корня не должно равняться нулю. То есть (2-x)(x^2-9) ≠ 0.

Теперь решим неравенство (2-x)(x^2-9) ≥ 0:

1. Найдем корни уравнения (2-x)(x^2-9) = 0: (2-x)(x^2-9) = 0 (2-x)(x+3)(x-3) = 0 x = 2, x = -3, x = 3

2. Построим таблицу знаков: x < -3: - - - = - -3 < x < 2: + - - = + x > 2: + + - = -

Таким образом, область определения функции y=√(2-x)(x^2-9) будет: x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, 2)

Область определения функции y = корень четвертой степени из (2 - x)(x^2 - 9) равна x

Для того чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt[4]{(2-x)(x^2-9)} ), нам необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем ( (2-x)(x^2-9) ) неотрицательно, так как корень четвертой степени определен для неотрицательных чисел.

Для начала разберем выражение ( (2-x)(x^2-9) ). Заметим, что ( x^2-9 ) можно переписать как ( (x-3)(x+3) ). Тогда получаем: [ (2-x)(x-3)(x+3) ]

Рассмотрим каждый множитель:

1. ( 2-x ) равно нулю при ( x=2 ).
2. ( x-3 ) равно нулю при ( x=3 ).
3. ( x+3 ) равно нулю при ( x=-3 ).

Теперь определим знаки произведения на разных интервалах. Интервалы разбиения: [ (-\infty, -3), \, (-3, 2), \, (2, 3), \, (3, +\infty) ]

Так как корень четвертой степени определен для неотрицательных значений, нам нужно найти, где произведение ( (2-x)(x-3)(x+3) ) неотрицательно.

• На интервале ( (-\infty, -3) ):

  • ( 2-x > 0 )
  • ( x-3 < 0 )
  • ( x+3 < 0 ) Произведение трех отрицательных чисел дает отрицательный результат.

• В точке ( x = -3 ): Произведение содержит ноль (так как ( x+3=0 )), значит значение выражения равно 0.

• На интервале ( (-3, 2) ):

  • ( 2-x > 0 )
  • ( x-3 < 0 )
  • ( x+3 > 0 ) Произведение положительного и двух отрицательных чисел дает положительный результат.

• В точке ( x = 2 ): Произведение содержит ноль (так как ( 2-x=0 )), значит значение выражения равно 0.

• На интервале ( (2, 3) ):

  • ( 2-x < 0 )
  • ( x-3 < 0 )
  • ( x+3 > 0 ) Произведение двух отрицательных и одного положительного чисел дает положительный результат.

• В точке ( x = 3 ): Произведение содержит ноль (так как ( x-3=0 )), значит значение выражения равно 0.

• На интервале ( (3, +\infty) ):

  • ( 2-x < 0 )
  • ( x-3 > 0 )
  • ( x+3 > 0 ) Произведение одного отрицательного и двух положительных чисел дает отрицательный результат.

Итак, область определения функции ( y = \sqrt[4]{(2-x)(x^2-9)} ) включает интервалы и точки, где произведение неотрицательно: [ [-3, 3] ]