Найдите область определения функции : y=√(x²-5x+6)

Для того чтобы найти область определения функции y=√(x²-5x+6), нужно определить значения x, при которых выражение под корнем неотрицательно.

Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: x²-5x+6 ≥ 0

Для того чтобы найти область определения, найдем корни уравнения: x²-5x+6 = 0

Дискриминант D = (-5)² - 416 = 25 - 24 = 1

Корни уравнения: x₁ = (5 + √1) / 2 = 3 x₂ = (5 - √1) / 2 = 2

Таким образом, функция y=√(x²-5x+6) определена при x∈[2,3] или область определения функции - [2,3].

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем, то есть ( x^2 - 5x + 6 ), неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Рассмотрим неравенство:

[ x^2 - 5x + 6 \geq 0. ]

Решим квадратное уравнение ( x^2 - 5x + 6 = 0 ), чтобы найти критические точки данного выражения. Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0. ]

Таким образом, уравнение равно нулю при ( x = 2 ) и ( x = 3 ). Эти значения делят числовую ось на три интервала: ( (-\infty, 2) ), ( (2, 3) ) и ( (3, \infty) ).

Чтобы определить знаки выражения ( (x - 2)(x - 3) ) на этих интервалах, выберем тестовые точки из каждого интервала:

1. Для интервала ( (-\infty, 2) ), выберем ( x = 0 ): [ (0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0. ]
2. Для интервала ( (2, 3) ), выберем ( x = 2.5 ): [ (2.5 - 2)(2.5 - 3) = -0.25 < 0. ]
3. Для интервала ( (3, \infty) ), выберем ( x = 4 ): [ (4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0. ]

Таким образом, выражение ( x^2 - 5x + 6 ) больше или равно нулю на интервалах ( (-\infty, 2] ) и ( [3, \infty) ).

Следовательно, область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} ) — это объединение интервалов, где подкоренное выражение неотрицательно:

[ (-\infty, 2] \cup [3, \infty). ]