Найдите область определения и область значений функции y=√x-2-3и решение если можно

Для функции y=√x-2-3 областью определения будет множество всех действительных чисел x таких, что x-2 ≥ 0, так как под корнем должно находиться неотрицательное число. Значит, область определения будет x ≥ 2.

Областью значений функции y=√x-2-3 будет множество всех действительных чисел y таких, что y ≥ -3. Это следует из того, что корень из любого неотрицательного числа всегда неотрицателен, а затем вычитание 3 сдвигает значения функции вниз на 3 единицы.

Для нахождения решения, если возможно, нужно решить уравнение y=√x-2-3 относительно x. Для этого нужно изолировать выражение под корнем, т.е. √x-2 = y+3, а затем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Получится x-2 = (y+3)^2. Решив это уравнение относительно x, мы найдем конкретное значение x в зависимости от значения y.

Чтобы найти область определения и область значений функции ( y = \sqrt{x - 2} - 3 ), давайте разберем каждый из этих аспектов по отдельности.

Область определения

Функция ( y = \sqrt{x - 2} - 3 ) включает квадратный корень, который определён только для неотрицательных чисел. Это значит, что подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

[ x - 2 \geq 0 ]

Решив это неравенство, мы получаем:

[ x \geq 2 ]

Таким образом, область определения функции — это все числа ( x ) такие, что ( x \geq 2 ). В интервалной записи это можно записать как ([2, +\infty)).

Область значений

Теперь рассмотрим область значений функции. Для этого проанализируем, какие значения может принимать ( y = \sqrt{x - 2} - 3 ).

1. Минимальное значение (\sqrt{x - 2}) равно 0, когда ( x = 2 ).

2. Подставив ( x = 2 ) в функцию, получим: [ y = \sqrt{2 - 2} - 3 = 0 - 3 = -3 ]

3. По мере увеличения ( x ), (\sqrt{x - 2}) увеличивается без ограничений (поскольку квадратный корень от положительного числа может быть сколь угодно большим), следовательно, ( y ) также может увеличиваться без ограничений.

Таким образом, минимальное значение ( y ) равно (-3), а максимальное не ограничено, то есть функция может принимать все значения от (-3) до (\infty).

Итак, область значений функции — это ([-3, +\infty)).

Резюмируем

• Область определения: ([2, +\infty))
• Область значений: ([-3, +\infty))