Найдите область определения выражения √(х²-11х+24)-¹

Для выражения √(х²-11х+24)-¹ область определения будет x ≠ 4, x ≠ 7.

Для того чтобы найти область определения выражения √(х²-11х+24)-¹, нужно сначала рассмотреть условия, при которых это выражение будет иметь смысл.

Квадратный корень из числа является действительным только в том случае, если подкоренное выражение больше или равно нулю. Таким образом, для √(х²-11х+24) мы должны иметь:

х²-11х+24 ≥ 0

Это неравенство можно решить с помощью метода дискриминанта или графически. Решив его, мы получим, что область определения для √(х²-11х+24) будет x ≤ 3 или x ≥ 8.

Далее, выражение вида а^(-1) принято обозначать как 1/а. Следовательно, для выражения √(х²-11х+24)-¹, область определения будет та же, что и для √(х²-11х+24), за исключением точек, где второе выражение равно нулю (поскольку деление на ноль невозможно).

Итак, область определения выражения √(х²-11х+24)-¹ будет x ≤ 3 или x ≥ 8, за исключением точек, где x равно 3 или 8.

Чтобы найти область определения выражения (\left(\sqrt{x^2 - 11x + 24}\right)^{-1}), необходимо определить, при каких значениях (x) выражение под корнем и в знаменателе действительно и не равно нулю.

Шаг 1: Условие подкоренного выражения

Выражение под корнем (x^2 - 11x + 24) должно быть больше нуля, так как квадратный корень из отрицательного числа не определён в области вещественных чисел. Поэтому имеем:

[x^2 - 11x + 24 > 0.]

Решим неравенство. Сначала найдём корни квадратного уравнения:

[x^2 - 11x + 24 = 0.]

Для решения этого уравнения можно воспользоваться теоремой Виета или формулой для корней квадратного уравнения:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]

где (a = 1), (b = -11), (c = 24). Найдём дискриминант:

[D = (-11)^2 - 4 \times 1 \times 24 = 121 - 96 = 25.]

Корни уравнения:

[x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{11 \pm 5}{2}.]

Таким образом, корни:

[x_1 = \frac{16}{2} = 8,] [x_2 = \frac{6}{2} = 3.]

Теперь, используя метод интервалов, определим знаки выражения (x^2 - 11x + 24) на числовой прямой. Корни (3) и (8) делят числовую прямую на интервалы ((-\infty, 3)), ((3, 8)) и ((8, +\infty)). Проверим знаки в каждом интервале:

1. Для (x \in (-\infty, 3)), например, (x = 0), имеем (0^2 - 11 \times 0 + 24 = 24 > 0).
2. Для (x \in (3, 8)), например, (x = 5), имеем (5^2 - 11 \times 5 + 24 = 25 - 55 + 24 = -6 < 0).
3. Для (x \in (8, +\infty)), например, (x = 9), имеем (9^2 - 11 \times 9 + 24 = 81 - 99 + 24 = 6 > 0).

Отсюда следует, что выражение (x^2 - 11x + 24) больше нуля на интервалах ((-\infty, 3)) и ((8, +\infty)).

Шаг 2: Условие для знаменателя

Так как выражение является обратным квадратному корню, необходимо, чтобы (\sqrt{x^2 - 11x + 24} \neq 0). Это значит, что (x^2 - 11x + 24 \neq 0), что уже учтено, так как мы исключаем точки (x = 3) и (x = 8).

Объединение результатов

Таким образом, область определения выражения (\left(\sqrt{x^2 - 11x + 24}\right)^{-1}) — это объединение двух интервалов:

[x \in (-\infty, 3) \cup (8, +\infty).]

Это и есть область определения данного выражения.